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98高雄市聯招

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2009-6-22 23:33, 下載次數: 6176

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1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第1000項之值。

補上出處,新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列,求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
的"奧數教程.rar"

3.平面上有一四邊形ABCD,其頂點分別為\( A(0,0) \),\( B(2,1) \),\( C(3,4) \),\( D(-1,7) \),此平面上另P,Q兩點,使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值,試求P,Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \),配方法求最小值
\( \overline{AC} \),\( \overline{BD} \)的交點為Q

二、證明題
1.證明:\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)

102.08.19補充出處
Prove that \( \displaystyle \frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{44} \)
(Canada National Olympiad 1997,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1997)


補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))

2.給定空間中四面體OABC,其中三邊\( \overline{OA} \),\( \overline{OB} \),\( \overline{OC} \)兩兩垂直,若\( a△ABC \),\( a△OAB \),\( a△OBC \),\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \),\( △OAB \),\( △OBC \),\( △OAC \)的面積,試證:\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

補上一題,新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中,棱VA、VB、VC两两垂直,三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证:\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。

提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \),\( B=(0,b,0) \),\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \),\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

109.5.30補充
已知\(2^x+3^y+5^z=7\),\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\);若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\),試求\(t\)的範圍?
109高雄市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html

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2010-5-18 21:49

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