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98和美實驗學校

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填充題第 3 題:

設 \(p , q\) 為質數,若方程式 \(x^2 - px + q = 0\) 有正整數解 \(a , b\),那麼 \(p^q + q^p + a^b + b^a\) 之值為何?

解答:

由根與係數關係式,可得 \(ab=q.......(*)\) 且 \(a+b=p............(**)\),

因為 \(a,b\) 皆為正整數、\(q\) 為質數及(*),可得 \(\{a,b\}=\{1,q\}\)

且由 (**),可得 \(p=a+b=1+q\),亦即 \(q\) 與 \(q+1\) 皆為質數,

\(\Rightarrow q=2, p=3, \{a,b\}=\{1,2\}\)

故,\(p^q + q^p + a^b + b^a=3^2+2^3+1^2+2^1=20.\)

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填充題第 10 題

由 \(\overline{AC}=35=14+21=\overline{AD}+\overline{DC}\) ,可知 \(A,D,C\) 三點共線且 \(D\) 介在 \(A,C\) 之間.

由 \(\overline{DC}=21=8+13=\overline{DB}+\overline{BC}\) ,可知 \(D,B,C\) 三點共線且 \(B\) 介在 \(D,C\) 之間.

所以,\(A,B,C,D\) 四點共線,且在直線上的順序為 \(A-D-B-C\),

因此 \(\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=14+8=22.\)

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