填充題第 3 題：

設 \(p , q\) 為質數，若方程式 \(x^2 - px + q = 0\) 有正整數解 \(a , b\)，那麼 \(p^q + q^p + a^b + b^a\) 之值為何？

解答：

由根與係數關係式，可得 \(ab=q.......（＊）\) 且 \(a+b=p............（＊＊）\)，

因為 \(a,b\) 皆為正整數、\(q\) 為質數及（＊），可得 \(\{a,b\}=\{1,q\}\)

且由 （＊＊），可得 \(p=a+b=1+q\)，亦即 \(q\) 與 \(q+1\) 皆為質數，

\(\Rightarrow q=2, p=3, \{a,b\}=\{1,2\}\)

故，\(p^q + q^p + a^b + b^a=3^2+2^3+1^2+2^1=20.\)

填充題第 10 題

由 \(\overline{AC}=35=14+21=\overline{AD}+\overline{DC}\) ，可知 \(A,D,C\) 三點共線且 \(D\) 介在 \(A,C\) 之間.

由 \(\overline{DC}=21=8+13=\overline{DB}+\overline{BC}\) ，可知 \(D,B,C\) 三點共線且 \(B\) 介在 \(D,C\) 之間.

所以，\(A,B,C,D\) 四點共線，且在直線上的順序為 \(A-D-B-C\)，

因此 \(\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=14+8=22.\)