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98和美實驗學校

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98和美實驗學校.pdf (263.49 KB)

2009-6-16 20:28, 下載次數: 4166

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選擇題
11.和美實驗學校校慶桌球擂台賽,數學科與行政組各派五人參加;隊員按事先排好順序出場參加擂台賽,雙方先由1 號隊員比賽,輸者被淘汰,勝者在與輸方的2 號隊員比賽,依此類推,直到一方隊員全被淘汰為止,另一方獲得勝利,形成一種比賽過程。則所有比賽過程的總數有多少?(A)14400 (B)120 (C)126 (D)252

甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽。雙方先由一號隊員比賽,負者淘汰,勝者再與負方二號比賽,...,直到一方隊員全被淘汰為止,另一方則獲得勝利,如此形成一種比賽過程。試求所有可能出現的比賽過程的方法數?(95文華高中,高中數學101 P272)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=15133

柔道擂台賽,比賽過程是:甲、乙二隊各出7名隊員按事先安排的順序出場比賽,雙方先由1號隊員出賽,負者遭淘汰;負方再派2號出場迎戰勝方的1號,L以此類推,直至一方7名隊員全被淘汰為止,另一方獲勝。所有可能出現的比賽過程的個數為[93學年度高中數學能力競賽中區(嘉義高中) 筆試(二)試題]
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf
https://math.pro/db/thread-884-1-1.html

填充題
1.設X為一實數,定義\( [\ X ]\ \)表示不大於X的最大整數,例如:\( [\ 3.5 ]\ =3 \),\( [\ 4 ]\ =4 \),則〔\( \sqrt{1} \)〕+〔\( \sqrt{2} \)〕+〔\( \sqrt{3} \)〕+...+〔\( \sqrt{102} \)〕=

〔\( \sqrt{1} \)〕~〔\( \sqrt{3} \)〕      \( 1 \cdot 3 \)
〔\( \sqrt{4} \)〕~〔\( \sqrt{8} \)〕      \( 2 \cdot 5 \)
〔\( \sqrt{9} \)〕~〔\( \sqrt{15} \)〕      \( 3 \cdot 7 \)
    ...
〔\( \sqrt{81} \)〕~〔\( \sqrt{99} \)〕      \( 9 \cdot 19 \)
〔\( \sqrt{100} \)〕,〔\( \sqrt{101} \)〕,〔\( \sqrt{102} \)〕    10,10,10
\( \displaystyle \sum^9_{k=1} k(2 k+1)+30=645 \)

Prove that for any natural number n,〔\( \sqrt{1} \)〕+〔\( \sqrt{2} \)〕+...+〔\( \sqrt{n^2} \)〕=\( \frac{1}{6}n(4n^2-3n+5) \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=88132

2010.6.2補充
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1501


4.有20個學生與20扇關著的門,皆從1編號至20。今1號學生將所有的門打開,接著2號學生把編號2的倍數的門再關起來,3號學生再把編號3的倍數的門作相反的動作(開著關上、關著的打開),依此類推,直到20號學生做完。請問最後打開的門有幾個。(完全平方數)

設一長廊有100盞燈,依序排成一列,編號1、2、3、、、、、100,開始全部都是關的,今有100人依次經過,第一人經過時將全部的燈打開,第二人經過時將燈號為2之倍數者關上,第三人經過時將燈號為3之倍數者改變狀態(開者關上,關者打開),、、、、、第n人經過時將燈號為n之倍數者改變狀態。請問100人依次經過後,最後共有多少盞是開的?(96淡水商工)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=22529


8.坐標平面上的圓C:\( (x-8)^2+(y-9)^2=16 \)上有幾個點與原點的距離恰好是整數值。

坐標平面上的圓\( (x-7)^2+(y-8)^2=9 \)上有幾個點與原點的距離正好是整數值。
(2004學科能力測驗)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-2 05:25 AM 編輯 ]

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請問第三題怎麼算呢?

我用根與係數湊不出來ㄟ

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填充題第 3 題:

設 \(p , q\) 為質數,若方程式 \(x^2 - px + q = 0\) 有正整數解 \(a , b\),那麼 \(p^q + q^p + a^b + b^a\) 之值為何?

解答:

由根與係數關係式,可得 \(ab=q.......(*)\) 且 \(a+b=p............(**)\),

因為 \(a,b\) 皆為正整數、\(q\) 為質數及(*),可得 \(\{a,b\}=\{1,q\}\)

且由 (**),可得 \(p=a+b=1+q\),亦即 \(q\) 與 \(q+1\) 皆為質數,

\(\Rightarrow q=2, p=3, \{a,b\}=\{1,2\}\)

故,\(p^q + q^p + a^b + b^a=3^2+2^3+1^2+2^1=20.\)

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謝謝
能否再請教第九題與第十題?
其中第十題我只知道可以表成一個4*4的矩陣.只有缺兩個元素a12..a21接下來呢?

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填充題第 10 題

由 \(\overline{AC}=35=14+21=\overline{AD}+\overline{DC}\) ,可知 \(A,D,C\) 三點共線且 \(D\) 介在 \(A,C\) 之間.

由 \(\overline{DC}=21=8+13=\overline{DB}+\overline{BC}\) ,可知 \(D,B,C\) 三點共線且 \(B\) 介在 \(D,C\) 之間.

所以,\(A,B,C,D\) 四點共線,且在直線上的順序為 \(A-D-B-C\),

因此 \(\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=14+8=22.\)

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回復 6# weiye 的帖子

挖勒....我漏看了最重要的一句-----他們共線

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