不用分 1,2 呀，首項係數為正的四次函數 \(f(x)=3x^4-mx^3+1\)，
由 \(f'(x)=0\Rightarrow x=0,0,m\)
只要保證這"唯二"的兩個可能的最低點 \((0,f(0)),\; (m,f(m))\) 都在 \(x\) 軸上方，
則整個四次多項式函數的圖形 \(y=f(x)\) 就不會跟 \(x\) 軸有交點了。
亦即 \(f(0)=1>0\) 且 \(f(m)>0\;\Rightarrow -1<m<1.\)
另解：
同樣令 \(f(x)=3x^4-mx^3+1.\)
當 \(x=0\) 時，\(f(0)=1\neq0.\)
當 \(x\neq0\) 時，要求讓 \(f(x)=3x^4-mx^3+1=0\) 無實數解的 \(m\) 之範圍，
同除 \(x^3\)，可得 \(\displaystyle m=\frac{3x+\frac{1}{x^3}}{4}.\)
當 \(x>0\) 時，由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{x+x+x+\frac{1}{x^3}}{4}\geq \sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}}=1\)
故，\(m<1\)，可以保證 \(f(x)=0\) 沒有正根.
當 \(x<0\) 時，由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{(-x)+(-x)+(-x)+\left(-\frac{1}{x^3}\right)}{4}\geq \sqrt[4]{(-x)\cdot (-x)\cdot (-x)\cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right)}=1\)
故，\((-m)<1\Leftrightarrow m>-1\)，可以保證 \(f(x)=0\) 沒有負根.
故，\(-1<m<1\) 時，可以保證 \(f(x)=0\) 無實根.
Note: 沒記錯的話，這題應該是91年指考數學甲的題目.
