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98北一女一題

1 2 3 4 5 6 … 99 100
 3 5 7 9 11 ……… 199
  8 12 16 20 ………
   20 28 36 ………
     ………………
      …………
       a
求a。

這題我是這樣看的
每一列任一數的正下方的數(列數加2)都是上方數的4倍
以下為簡單證明
n-k n n+k
  2n-k  2n+k
         4n

故a上一列的兩數為50*4^49及51*4^49 (首項為分別50及51的等比數列的第50項)
=> a=50*4^49+51*4^49=101*4^49=101*2^98

這樣就不需要用到高中數學的組合公式或巴斯卡定理了

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另第四題我的作法如下

連結已失效h ttp://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509061802221

以下令t= tanθ
cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)^n
=C(n,0)*(cosθ)^n+C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(isinθ)+…+C(n,n)*(isinθ)^n
=[C(n,0)*(cosθ)^n-C(n,2)* (cosθ)^(n-2)*(sinθ)^2+-…]+
i[C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(sinθ)-C(n,3)* (cosθ)^(n-3)*(sinθ)^3+-…]
=(cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]+i(cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]


cos(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]
sin(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]
得tan(nθ)= sin(nθ)/ cos(nθ)
=[C(n,1)t-C(n,3)t^3+-...]/[C(n,0)-C(n,2)t^2+-...]


知識+菩提兄的作法
tan(nx)
=(-i)[(cosx+i sinx)^n-(cosx-i sinx)^n]/[(cosx+isinx)^n+(cosx-isinx)^n]
=(-i) Im[(1+i t)^n-(1-i t)^n]/ Re[(1+i t)^n+(1- i t)^n]   ( t= tanx)
= -ΣC(n, 2k-1)(-1)^k t^(2k-1) / ΣC(n, 2k)(-1)^k t^(2k)   
is a rational function of t=tanx
Note: the 1st Σ takes sum for k=1,2,..., [n+1]/2
         the 2nd Σ takes sum for k=0,1,...,[n]/2

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