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98北一女一題

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98北一女一題

題目是聽朋友說的,基本上還沒有好方法
題目是
比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \) 和 \( 0.2 \)的大小

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-15 11:10 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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這幾天我一直想用\( ln(x) \)的積分來求近似值,原來我走錯方向了
改用normal distribution來逼近binomial distribution才對

二項分配的平均數為\( \mu=np \),標準差為\( \sigma=\sqrt{np(1-p)} \)
\( \displaystyle p(x)=\frac{1}{\sqrt{np(1-p)2 \pi}} e^{-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)}} \)
\( \displaystyle p(20)=\frac{1}{\sqrt{100 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot 2 \cdot \pi}}=\frac{1}{\sqrt{32 \pi}} \)和0.2比大小

\( \frac{1}{\sqrt{32 \pi}}<\frac{1}{5} \)
\( \frac{1}{32 \pi}<\frac{1}{25} \)
\( \frac{25}{32}<\pi \)
逆推回去可以知道0.2比較大

用右上角的Wolfram Alpha求近似值
\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80}=0.0993002 \)
http://www10.wolframalpha.com/in ... 20%2A%280.8%29%5E80
\( \frac{1}{\sqrt{32 \pi}}=0.0997355 \)
http://www10.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt%2832+%2Api%29

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-6-19 09:33 PM 編輯 ]

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回復 2# bugmens 的帖子

真神人也!!!
感謝!!
雖然我看不懂關鍵部份
但我想那是書上會有的東西
不好意思讓您繞路
因為這是一題裡面的第二小題
如果看到完整敘述
您應該就能馬上找到正確的路
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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經sweeta314同意將題目轉錄到這裡
1.
有一隻老鼠要進入一個迷宮
迷宮共有abc三個入口
老鼠選擇入口的機率都相同  且老鼠不會記得他走過哪些門
若老鼠進入a門  則三小時後可走出迷宮
若老鼠走進b門  則兩小時後回到原地
若老鼠走進c門  則四小時後回到原地
求老鼠走出迷宮所需時間的期望值
[提示]
\( \displaystyle E(x)=\frac{1}{3}\times 3 +\frac{1}{3}\times (2+E(x))+\frac{1}{3} \times (4+E(x)) \)

補充一題
某一老鼠走迷宮的遊戲中,假設迷宮有A,B,C三個門,老鼠走進這三個門的機率都相等,且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門,則老鼠在3個小時後可以走出迷宮;如果走進B門,則老鼠經過2個小時後又走回原地;如果走進C門,則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼,這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試)

迷宮入口處有向右、向左、向前三條路,其機率相同。若向右走,平均經過5分鐘,將回到入口處;若向左走,則平均經過8分鐘,就走出迷宮;若向前走,經過1分鐘後有左、右兩條路。向左和向右的機率相同下,向左走,平均經過6分鐘,就走出迷宮;而向右走經過2分鐘後,又回到入口處。平均而言,試問走一趟迷宮需多少時間?
(96桃園高中,93全國高中數學能力競賽南區筆試一)

108.5.11補充
小明在森林中迷了路,若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地,若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地,另一半的機會於10分鐘後走出森林;假設小明向前走的機率為0.6,問小明能夠走出森林所花費的期望值為?
(A)25 (B)30 (C)40 (D)45 分鐘
(108全國高中聯招,https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)

2010.5.6補充
一袋中有五顆球,三顆為2號球,兩顆為3號球。今從袋中取兩個球,若取出兩顆球點數相同就繼續,取出不同即停止。試求取出點數的期望值為何?
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48413

102.1.1
擲兩個公正骰子,若和為7可得100元,必可續投;若又擲點數和7可得100元,再續投,否則停止。求期望值?


2.
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{1}{n^2+2^2}+\frac{1}{n^2+3^2}+...+\frac{1}{n^2+n^2} \)
試求一實數a使得\( \displaystyle \frac{a}{n}-\frac{1}{2n^2}<S_n<\frac{a}{n} \)對所有n為正整數皆成立

3.
題目:給一個六次多項式\( f(x)=x^6-2x+1 \)(不確定有沒有記錯一次項跟常數項)求\( f(x) \)除以\( (x-1)^2 \)的餘式
試問這個題目  你要如何教以下三種學生?
(1)高一學生 (2)高二下學生 (3)高三理組學生
ps.去年考中山的時候有類似的題目
[提示]
(1)綜合除法 (2)二項式定理 (3)微積分

4.
若\( tanX=t \). 試用t表示\( tan(nX) \) 並證明你寫的是對的
[解答]
\( (cos(\theta)+i sin(\theta))^n=cos(n \theta)+i sin(n \theta) \)...(1)
\( (cos(-\theta)+i sin(-\theta))^n=cos(-n \theta)+i sin(-n \theta) \),
\( (cos(\theta)-i sin(\theta))^n=cos(n \theta)-i sin(n \theta) \)...(2)
從(1)(2)式得
\( \displaystyle sin(n \theta)=\frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n-(cos(\theta)-i sin(\theta))^n}{2i} \)

\( \displaystyle cos(n \theta)=\frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n+(cos(\theta)-i sin
(\theta))^n}{2} \)
兩式相除得
\( \displaystyle tan(n \theta)=\frac{1}{i} \frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n-(cos(\theta)-i sin(\theta))^n}{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n+(cos(\theta)-i sin(\theta))^n} \)
分子分母同除\( cos^{n}(\theta) \)
\( \displaystyle tan(n \theta)=\frac{1}{i}\cdot \frac{(1+i \cdot tan(\theta))^n-(1-i \cdot tan(\theta))^n}{(1+i \cdot tan(\theta))^n+(1-i \cdot tan(\theta))^n} \)
\( tan \theta \)換成t
\( \displaystyle tan(n \theta)=-i \cdot \frac{(1+i \cdot t)^n-(1-i \cdot t)^n}{(1+i \cdot t)^n+(1-i \cdot t)^n}=i \cdot \frac{(1-i \cdot t)^n-(1+i \cdot t)^n}{(1-i \cdot t)^n+(1+i \cdot t)^n} \)

5.
1 2 3 4 5 6 … 99 100
 3 5 7 9 11 ……… 199
  8 12 16 20 ………
   20 28 36 ………
     ………………
      …………
       a
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
[提示]
從少數項觀察規律
a    b    c    d    e
  a+b   b+c    c+d   d+e
   a+2b+c  b+2c+d  c+2d+e
    a+3b+3c+d  b+3c+3d+e
       a+4b+6c+4d+e
\( \displaystyle C^4_0 \cdot a+C^4_1 \cdot b +C^4_2 \cdot c+C^4_3 \cdot d+C^4_4 \cdot e \)
將a,b,c,d,e換成1,2,3,4,5
\( \displaystyle C^4_0 \cdot 1+C^4_1 \cdot 2 +C^4_2 \cdot 3+C^4_3 \cdot 4+C^4_4 \cdot 5=\sum^{n}_{k=0} C^{n}_{k} \cdot (k+1) \),這裡的\( n=4 \)

101.10.10補充
下面一系列的圖形,隱藏了一些規則,即
(圖請看連結)
令在第1個圖、第2個圖、第3個圖、...、第n個圖中最下面一層的唯一數字分別為\( a_1 \)、\( a_2 \)、\( a_3 \)、...、\( a_n \)。如上圖,其中\( a_1=3 \),\( a_2=8 \),\( a_3=20 \)。則當\( n=2011 \)時,最下面一層唯一的數字\( a_{2011}= \)?
(100建國中學科學班甄選 數學能力測驗,http://www.ck.tp.edu.tw/~scicla/pdf/101/100math1.pdf)

2010.5.23補上ptt當初的討論文章
展開\( (0.2+0.8)^{100}=C_0^{100}(0.2)^0*(0.8)^100+C_1^{100}(0.2)^1*(0.8)^{99}+...+C_{100}^{100}(0.2)^0*(0.8)^{100} \)
依序令其為\( A_0 , A_1 , ... , A_{100} \), 共101項。
Q1. 請問\( A_1 ~ A_{100} \)中,何者最大?
Q2. 請問你如何向學生講解這件事情?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-1 07:49 AM 編輯 ]

附件

98北一女.zip (11.13 KB)

2013-1-1 07:28, 下載次數: 3002

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1 2 3 4 … 2006  2007  2008  2009
 3 5 7  …   4013  4015  4017
  8 12   …     8028  8032
   20    …       16060
    …   …       …
        K
已知一個排列如三角形狀的數列如上所示:其中第一列各數依次為1, 2, 3, … , 2009。
從第二列起,每個數分別為上一列的左與右兩數的和。求此三角形最下方的數字K=?
(建中通訊解題第72期)

通訊解題第5題還出自1984AIME,這些題目用國中數學就可以解嗎?
至少ΣC(n,k)=2^n,Σk*C(n,k)=n*2^(n-1)都是高中數學吧

2009.10.21補充
http://math1.ck.tp.edu.tw/通訊解題/index.html
公佈的解法也很特別

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-10-21 10:57 PM 編輯 ]

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1 2 3 4 5 6 … 99 100
 3 5 7 9 11 ……… 199
  8 12 16 20 ………
   20 28 36 ………
     ………………
      …………
       a
求a。

這題我是這樣看的
每一列任一數的正下方的數(列數加2)都是上方數的4倍
以下為簡單證明
n-k n n+k
  2n-k  2n+k
         4n

故a上一列的兩數為50*4^49及51*4^49 (首項為分別50及51的等比數列的第50項)
=> a=50*4^49+51*4^49=101*4^49=101*2^98

這樣就不需要用到高中數學的組合公式或巴斯卡定理了
 

[ 本帖最後由 Fermat 於 2009-9-3 10:33 AM 編輯 ]

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另第四題我的作法如下

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509061802221

以下令t= tanθ
cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)^n
=C(n,0)*(cosθ)^n+C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(isinθ)+…+C(n,n)*(isinθ)^n
=[C(n,0)*(cosθ)^n-C(n,2)* (cosθ)^(n-2)*(sinθ)^2+-…]+
i[C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(sinθ)-C(n,3)* (cosθ)^(n-3)*(sinθ)^3+-…]
=(cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]+i(cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]


cos(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]
sin(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]
得tan(nθ)= sin(nθ)/ cos(nθ)
=[C(n,1)t-C(n,3)t^3+-...]/[C(n,0)-C(n,2)t^2+-...]


知識+菩提兄的作法
tan(nx)
=(-i)[(cosx+i sinx)^n-(cosx-i sinx)^n]/[(cosx+isinx)^n+(cosx-isinx)^n]
=(-i) Im[(1+i t)^n-(1-i t)^n]/ Re[(1+i t)^n+(1- i t)^n]   ( t= tanx)
= -ΣC(n, 2k-1)(-1)^k t^(2k-1) / ΣC(n, 2k)(-1)^k t^(2k)   
is a rational function of t=tanx
Note: the 1st Σ takes sum for k=1,2,..., [n+1]/2
         the 2nd Σ takes sum for k=0,1,...,[n]/2

[ 本帖最後由 Fermat 於 2009-9-3 10:45 AM 編輯 ]

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請問二題

1. 求最大的自然數n , 使得大於n的數皆可表示成6a+9b+20c的型式 .
2. S_n = 1/(n^2+1^2)+1/(n^2+2^2)+......1/(n^2+n^2) , 試求a 使得(a/n)-(1/2n^2)<S_n<(a/n) .

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第一題可參考http://www.yll.url.tw/viewtopic.php?t=2704 的Waster網友的解法

由 Waster 於 星期三 四月 16, 2003 9:48 am
\( 6a+9b+20c=k \),a,b,c都是非負整數

\( 6(a+2)+9(b+1)+20(c-1)=k+1 \)
\( 6a+9(b-2)+20(c+1)=k+2 \)
\( 6(a-1)+9(b+1)+20c=k+3 \)
\( 6(a+1)+9(b+2)+20(c-1)=k+4 \)
\( 6(a-1)+9(b-1)+20(c+1)=k+5 \)
\( 6(a+1)+9b+20c=k+6 \)
現在我們只要使a≧1,b≧2,c≧1,則可以表達這個數以後的所有整數
6(1)+9(2)+20(1)=44
故44以後的所有整數都可以表達

設\( 6u+9v+20w=43 \),u,v,w都是非負整數
w=0或1
當\( \displaystyle w=0,6u+9v=43,2u+3v=\frac{43}{3} \)
當\( \displaystyle w=1,6u+9v=23,2u+3v=\frac{23}{3} \)
故不能點的麥克雞塊數量的最大整數是43

99桃園縣現職教師高中聯招也出了一題類似題目
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1473)

101.12.18補充
問題85
A在非標準信封中放入旅遊的照片,寄給朋友B。秤過重量,也依郵寄物的收費表查出正確的費用,但不巧手邊只有40元和70元的郵票。而且,A雖然將這個郵票做各種不同的組合,但怎麼也不能組合出正確的金額。已知金額在140元以上,請問正確的金額為何?
<解答>
首先,將40元郵票和70元郵票做各種組合,看看有哪幾種情況。如此一來,會發現有趣的事。不論何時的組合都在180元以上。我們試考慮從180元到210元的組合。
\( 180=40 \times 1+70 \times 2 \)(元)
\( 190=40 \times 3+70 \times 1 \)(元)
\( 200=40 \times 5 \)(元)
\( 210=70 \times 3 \)(元)
如此一來,在這上面如果加上40元郵票一張的話就是從220元到250元,如果加上40元的郵票2張的話,就是從260元到290元。如此一來,從180元到210元的任何一個加上40元郵票的話,180元以上的費用都可以組合出來。
所以,如果調查關於170元以下的話,
\( 140=70 \times 2 \)
\( 150=40 \times 2+70 \times 1 \)
\( 160=40 \times 4 \)
這是從140元到160的組合。但是,40元和70元再怎麼組合,也不能組合130元和170元。由於我們知道費用在140元以上,所以正確的費用為170元。
宋釗宜,難解數學破題
(題目應該要改成4元和7元的郵票才合理,否則141,142,...也都無法由40和70組合出來)

102.1.14補充
設a,b為大於1的兩互質正整數,試找出最大的整數k,使得\( k=ma+nb \)不存在非負的整數解\( (m,n) \)。
(101學年度第一學期 中山大學雙週一題 第八題)
答案:\( k=ab-a-b \)

102.1.26補充
設\( a>0 \),\( b>0 \),\( (a,b)=1 \),則
當\( c>ab-a-b \)時,方程\( ax+by=c \)有非負整數解。
當\( c=ab-a-b \)時,方程\( ax+by=c \)無非負整數解。

設\( (x_0,y_0) \)是\( ax+by=c \)的一組解,則\( ax+by=c \)的解為

第二題
請見5樓的98北一女.rar,由perturb提供的解法

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