三、計算題
2.已知雙曲線C:\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \)，其兩焦點為F,F'。設\( P(x_0,y_0) \)為C上異於頂點的任意點，且設△PFP'的內切圓與x軸切於點M。
(1)求M與兩焦點的距離各是多少？
(2)當\( x_0 \to \infty \)時，內切圓圓心的y坐標之極限值為何？

(1)
設\( M=(x,0) \)
由雙曲線定義\( PF'-PF=(PC+CF')-(PB+BF)=F'M-MF=(x+c)-(c-x)=2a \)
得\( M=(a,0) \)
(2)
由光學性質可知，P點的切線就是FPF'的角平分線，當\( x_0 \to \infty \)時，P點會逐漸靠近漸進線，可將漸進線看成角平分線，又F'M是內切圓的切線，所以OM垂直F'M,故圓心會趨近\( (3,2) \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-6-14 10:11 PM 編輯 ]

填充題
4.設數列\( \langle a_n \rangle \)定義為：\( a_1=1 \)，且當\( n \gt 2 \)時，\(a_n=\Bigg\{\matrix{a_{\frac{n}{2}}+1 (n為偶數) \cr \frac{1}{a_{n-1}}(n為奇數)} \)，已知\( a_n=\frac{30}{11} \)，則 \(n\)=？


化成連分數\( \frac{30}{11}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}} \)
\( a_3=\frac{1}{2} \)，\( a_6=\frac{3}{2} \)，\( a_7=\frac{2}{3} \)，\( a_{14}=\frac{5}{3} \)，\( a_{28}=\frac{8}{3} \)，\( a_{29}=\frac{3}{8} \)，\( a_{58}=\frac{11}{8} \)，\( a_{59}=\frac{8}{11} \)，\( a_{118}=\frac{19}{11} \)，\( a_{236}=\frac{30}{11} \)