\((3,4)\) 帶入橢圓方程式檢查，

發現點在橢圓外部，

所以有兩條切線。

設切線斜率為 \(m\)，則

切線方程式為 \(y-4=m\left(x-3\right)\)，

將 \(y=mx-3m+4\) 帶入橢圓方程式，

列出 \(x\) 的一元二次方程式，

相切 ⇒ 判別式\(=0\)

解出 \(m\)，得切線方程式。

（如果上面解得到 \(m\) 的一次式，表示有其中一條切線是無斜率的，為鉛錘線。 ）

\((3,4)\) 帶入上式 \(y=mx\pm\sqrt{9m^2+4}\)，化簡得到 \(m\) 的一次式，就可以知道其中有一條斜率不存在，

解此一次式得 \(\displaystyle m=\frac{1}{2}\)，

帶回切線公式，

得切線 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\) 或 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)，

其中後者並不通過 \((3,4)\)，

所以切線為 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

以及沒有斜率的鉛錘線 \(x=3.\)