引用:

原帖由 frombemask 於 2013-7-15 04:32 PM 發表
正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d), a+c=4(b+d), a+d=5(b+c), 求a可能的最小值。

令 b = md，c = nd (m 和 n 是有理數)
a = (-m + 3n + 3)d = (4m - n + 4)d = (5m + 5n - 1)d

-m + 3n + 3 = 4m - n + 4
4m - n + 4 = 5m + 5n - 1
m = 7/17，n = 13/17
b：c：d = 7：13：17

所求 = 3(13 + 17) - 7 = 83

因為\(sin 2x=1\)時，\(\displaystyle \frac{2}{\sin x}\ne \frac{3}{\cos x}\)

可參考 許介彥老師的大作"數學悠哉遊" P139

\(\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{2}^{2n}}{{\sin }^{2}}\frac{x}{{{2}^{n}}}}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}\times \frac{{{x}^{2}}}{{{2}^{2n}}{{\sin }^{2}}\frac{x}{{{2}^{n}}}}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}\times \sin {{\left( \frac{\frac{x}{{{2}^{n}}}}{\sin \frac{x}{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\)

求線段 AB 在該直線方向向量上的正射影長