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98彰化女中

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98彰化女中

試題及答案,於附件。





以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 57分

68分 1人,63分 1人,61分 1人,57分 4人

其他,

50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考  2人

共計 182 人

附件

98彰化女中.pdf (120.96 KB)

2009-5-21 18:07, 下載次數: 10601

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1. \(x^{2009}\) 除以 \( (x-1)^2(x^2+1) \) 所得餘式為何?

解:

\(x^{2009} =  \left\{\left(x-1\right)+1\right\}^{2009}\) 用二項式定理展開,
得 \(x^{2009}\) 除以 \(\left(x-1\right)^2\) 之餘式為 \(2009x-2008\),

設 \(x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008\)
\(x=i\) 帶入上式,找出 \(a,b\),即可得所求.




2. 以 \(O\) 為圓心的圓上有 \(n\) 個相異點,依序為 \(A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n\),此 \(n\) 個點將圓分割為 \( A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1\) 等 \(n\) 個扇形區域。在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法數有 \(S(n,m)\) ,若 \( S(n+2,m)=p\cdot S(n+1,m)+k\cdot S(n,m)\),求 \(p-k\) 之值.

解:

為方便說明,令題目所述的 \(n\) 個區域為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),

i. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 同色,則

 \(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-2,m)\) 種塗法,

 且 \(a_n\) 有 \(m-1\) 種上色法,

 所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-1)\cdot S(n-2,m)\) 種塗法.

ii. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 異色,則

 \(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-1,m)\) 種塗法,

 且 \(a_n\) 有 \(m-2\) 種上色法,

 所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-2)\cdot S(n-1,m)\) 種塗法.

由 i & ii,可得  \( S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1,m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).\)

故,\(p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.\)


註:其它相關資料 https://math.pro/db/thread-499-1-4.html







8. 擲一公正骰子,直到 \(6\) 點出現第 \(3\) 次才停止,設 \(X\) 表至停止時所投擲的次數,求 (1) \(P(X=5)=?\) ,(2) \(E(X)=?\)

解:

(1) \(P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.\)

(2) 出現 \(6\) 的點機率為 \(\displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.\)

  \(\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.\)






10. (2) \(I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?\)

解:

令 \(S=I+A+A^2+A^3+\cdots\),則 \(AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots\),

兩式相減,可得 \(\left(I-A\right)S = I\),

則可得 \(\displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}}  \\
   {\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}}  \\
\end{array}} \right).\)




18. 求滿足 \((x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9\) 之所有點 \(P(x,y)\) 所表區域面積.

解:

\(P(x,y)\) 到 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) 的距離為 \(3.\)

\(\Rightarrow P\) 到圓 \(x^2+y^2=2^2\) 的距離為 \(3.\)

畫圖,可得 \(P\) 在圓 \(x^2+y^2=5^2\) 的邊界或內部區域,

並且位在圓 \(x^2+y^2=1^2\) 的邊界或外部區域,

可得面積為 \(\left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.\)

(感謝 p75545 老師提醒!)

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感謝呀。 ^__^

眼花將兩式相減的結果由 \(I\) 看成 \(A.\)

上篇回文已改正,感恩、感恩。 ^__^

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引用:
原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝
在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法數有 \(S(n,m).\)

小弟上面的解法,是當作顏色可以重複使用。

^_^

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第 5 題
\(P\) 為橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 上一點(不為端點),一魔力光點自 \(P\) 向橢圓一焦點 \(F\) 射出,在到達 \(\overline{PF}\) 中點 \(M\) 時,

會朝橢圓中心 \(O\) 折射而去,求此魔力光點自 \(P\) 經 \(M\) 到達 \(O\) 之最短路徑長________。

解答:設另一焦點為 \(E\),連接 \(\overline{PE}\),如下圖:



   在 \(\triangle PEF\) 中,因為 \(M,O\) 分別為 \(\overline{PF}\)、\(\overline{FE}\) 之中點,

   因此 \(\displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE}\) 且 \(\displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}\)。

   故,\(\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.\)

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回復 24# aonzoe 的帖子

第 18 題的應該是 \(24\pi.\)

第 15 題在 bugmens 的回覆之中,有寫做法&解答。

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回復 29# cally0119 的帖子

填充第9題 → USA → AMC12 → 1985

計算第2題 → 大概那個站的討論區網址換了吧?可能要問那個站才知道換到哪裡去了!

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相同題目,合併主題完畢。

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回復 50# 陸韋翰 的帖子

令曲線參數式 \(x= 5 \cos t, y = 4 \sin t\),其中 \(0\leq t\leq\pi\),再利用旋轉體求表面積的積分得到的結果是.....




剛剛查了一下維基百科"橢球",有個近似公式....



套入近似公式看看,取 p=1.6075),數值結果跟上面的答案很接近。



再套入近似公式看看 ,取 p=1,數值結果跟上面的答案誤差又多了一點點點,不過跟官方給的答案一樣了。



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