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98彰化女中

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98彰化女中

試題及答案,於附件。





以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 57分

68分 1人,63分 1人,61分 1人,57分 4人

其他,

50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考  2人

共計 182 人

附件

98彰化女中.pdf (120.96 KB)

2009-5-21 18:07, 下載次數: 3914

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3.甲乙二人競選三年子班班長,全班42人,每人一票,沒有廢票,最後甲以24:18當選。問開票過程中,甲一路領先的機率為何?
(24-18)/(24+18)=1/7
戴久永 機率名題二則漫談
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_03/page2.html

7.若\( 0<θ<\frac{π}{2} \),則\( \frac{2}{sinθ}+\frac{3}{cosθ} \)的最小值為?(72年大學聯考)
廣義的科西不等式
https://math.pro/db/thread-661-1-1.html
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=455

9.方程式\( (x^2-3x+1)^{x+1}=1 \)有幾個整數解?
補充一題
How many integers x  satisfy the equation \( (x^{2}-x+1)^{x+2}=1 \)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)none of these
1985AMC12
http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=44&year=1985

11.求過\( P(\frac{3}{2},3) \)而與拋物線τ:\( y=-x^{2}+4x-3 \)相切的二切線與拋物線τ所圍區域的面積為?
切線2x+y=6切點(3,0),切線4x-y=3切點(0,-3)

12.\( f(x)=x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx-13 \),a,b,c,d \( \in R\),若f(x)=0有四個虛根\( r_{1} \),\( r_{2} \),\( r_{3} \),\( r_{4} \),滿足\( r_{1}+r_{2}=1-i \),\( r_{3}r_{4}=2-3i \),則2a+b+c+d=?
a,b,c,d為實數,已知方程式\( x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \)有四個虛根,此四根中,其中二根的乘積為13+i,另二根的和為3+4i,求a,b的值
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565

15.正整數a,b,c,d滿足a+b=3(c+d),a+c=4(b+d),a+d=5(b+c),求a可能的最小值為?

\( a=\frac{83d}{17} \),\( b=\frac{7d}{17} \),\( c=\frac{13d}{17} \)取d=17得a=83最小值

17.設\( z=cosα+isinα \),\( ω=cosβ+isinβ \),且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \),求tan(α+β)之值為?
(95新竹高商)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793 連結已失效
若有兩複數分別為\( z=cosα+isinα \),\( ω=cosβ+isinβ \),且\( z+ω=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i \),求tan(α+β)之值?
(94學年度高中數學能力競賽台南區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_Tainan_02.pdf 連結已失效


二、填充計算題
1.求計算\( x^2+y^2\le 1 \),\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
趣题:求两圆柱相交部分的体积
http://www.physixfan.com/archives/445

106.8.10新增

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牟合方蓋SketchUp檔.zip (184.7 KB)

2017-8-10 17:56, 下載次數: 57

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1. \(x^{2009}\) 除以 \( (x-1)^2(x^2+1) \) 所得餘式為何?

解:

\(x^{2009} =  \left\{\left(x-1\right)+1\right\}^{2009}\) 用二項式定理展開,
得 \(x^{2009}\) 除以 \(\left(x-1\right)^2\) 之餘式為 \(2009x-2008\),

設 \(x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008\)
\(x=i\) 帶入上式,找出 \(a,b\),即可得所求.




2. 以 \(O\) 為圓心的圓上有 \(n\) 個相異點,依序為 \(A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n\),此 \(n\) 個點將圓分割為 \( A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1\) 等 \(n\) 個扇形區域。在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法數有 \(S(n,m)\) ,若 \( S(n+2,m)=p\cdot S(n+1,m)+k\cdot S(n,m)\),求 \(p-k\) 之值.

解:

為方便說明,令題目所述的 \(n\) 個區域為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),

i. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 同色,則

 \(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-2,m)\) 種塗法,

 且 \(a_n\) 有 \(m-1\) 種上色法,

 所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-1)\cdot S(n-2,m)\) 種塗法.

ii. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 異色,則

 \(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-1,m)\) 種塗法,

 且 \(a_n\) 有 \(m-2\) 種上色法,

 所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-2)\cdot S(n-1,m)\) 種塗法.

由 i & ii,可得  \( S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1,m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).\)

故,\(p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.\)


註:其它相關資料 https://math.pro/db/thread-499-1-4.html







8. 擲一公正骰子,直到 \(6\) 點出現第 \(3\) 次才停止,設 \(X\) 表至停止時所投擲的次數,求 (1) \(P(X=5)=?\) ,(2) \(E(X)=?\)

解:

(1) \(P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.\)

(2) 出現 \(6\) 的點機率為 \(\displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.\)

  \(\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.\)






10. (2) \(I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?\)

解:

令 \(S=I+A+A^2+A^3+\cdots\),則 \(AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots\),

兩式相減,可得 \(\left(I-A\right)S = I\),

則可得 \(\displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}}  \\
   {\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}}  \\
\end{array}} \right).\)




18. 求滿足 \((x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9\) 之所有點 \(P(x,y)\) 所表區域面積.

解:

\(P(x,y)\) 到 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) 的距離為 \(3.\)

\(\Rightarrow P\) 到圓 \(x^2+y^2=2^2\) 的距離為 \(3.\)

畫圖,可得 \(P\) 在圓 \(x^2+y^2=5^2\) 的邊界或內部區域,

並且位在圓 \(x^2+y^2=1^2\) 的邊界或外部區域,

可得面積為 \(\left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.\)

(感謝 p75545 老師提醒!)

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瑋岳大~~
您10.答案好像不對唷
S=(I-A)^-1

不知道怎麼打數學方程式>"<

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感謝呀。 ^__^

眼花將兩式相減的結果由 \(I\) 看成 \(A.\)

上篇回文已改正,感恩、感恩。 ^__^

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瑋岳老師
請問在第2題裡
m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

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總覺得 他公佈計算第2題的答案  怎麼也求不到~~很傷腦筋   也很懷疑他是不是算錯了   還是我錯了???  檢視很久,找不出來

答案應該為\( \displaystyle 2\pi(16+\frac{100sin^{-1}\frac{3}{5}}{3})\)不帶公式,怎麼算都是這個
帶公式還是這個
\( \displaystyle \frac{224\pi}{3}\)到底是怎麼來的??不懂
橢圓表面積計算方式
http://ocw.nctu.edu.tw/discuss/viewtopic.php?CID=56&Topic_ID=281

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計算第一題
大約是這樣
寫出x ,y, z範圍
\(0 \leq  x  \leq  \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)
\(0 \leq  y  \leq 1\)
\(z= \sqrt{ 1- {y }^{ 2} } \)

重積分先對x積分  然後對y積分
此為第一卦限(first octant)的值
所以記得乘上8
如附件

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-5-30 02:04 AM 編輯 ]

附件

ex1.gif (2.81 KB)

2009-5-23 03:57

ex1.gif

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請問第 6  題除了硬算之外有比較好的作法嗎? 謝謝!

求 1^2 * C(10,1) * (1/6) * (1/6)^9 + 2^2 * C(10,2) * (1/6)^2 * (1/6)^8 + ... + 10^2 C(10,10) * (1/6)^10 = ?

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引用:
原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝
在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域,每區域一色,相鄰區域不同色,全部的方法數有 \(S(n,m).\)

小弟上面的解法,是當作顏色可以重複使用。

^_^

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