\( a_{n+1}^2+a_{n}^2+4=2a_{n+1}a_{n}+4a_{n+1}+4a_{n} \)......(1)式
\( a_{n}^2+a_{n-1}^2+4=2a_{n}a_{n-1}+4a_{n}+4a_{n-1} \)......(2)式
(1)式－(2)式得
\( a_{n+1}^2-a_{n-1}^2=2a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})+4(a_{n+1}-a_{n-1}) \)

\( (a_{n+1}+a_{n-1})(a_{n+1}-a_{n-1})-2a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})-4(a_{n+1}-a_{n-1})=0 \)

\( (a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}+a_{n-1}-2a_{n}-4)=0 \)

得到\( a_{n+1}+a_{n-1}-2a_{n}-4=0 \)，\( (a_{n+1}-a_{n})-(a_{n}-a_{n-1})=4 \)

令\( b_n=a_{n}-a_{n-1} \)，\( n>1 \)，\( b_2=a_{2}-a_{1}=8-2=6 \)

列出遞迴式
\( b_{n}-b_{n-1}=4 \)
\( b_{n-1}-b_{n-2}=4 \)
...
\( b_{3}-b_{2}=4 \)

以上的式子相加\( b_{n}-b_{2}=4(n-2) \)，\( b_{n}=4n-2 \)
列出遞迴式
\( a_{n}-a_{n-1}=4n-2 \)
\( a_{n-1}-a_{n-2}=4(n-1)-2 \)
...
\( a_{2}-a_{1}=4*2-2 \)

以上的式子相加\( a_{n}-a_{1}=\frac{n-1}{2}(4n-2+6) \)，\( a_{n}=2n^2 \)

111.4.19補充
設一數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}>a_n(n\in N)\)且\((a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)\)。令\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=\)　　　。
(111台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=1#pid23757)

1.
\( \sqrt{(2^x-5)^2+(x-2)^2}-\sqrt{(2^x-4)^2+(x-1)^2} \)

\( \sqrt{(x-2)^2+(2^x-5)^2}-\sqrt{(x-1)^2+(2^x-4)^2} \)
看成A(2,5)，B(1,4)，\( y=2^x \)上一點\( P(x,2^x) \)求\( \overline{AP}-\overline{BP} \)的最大值
利用三角不等式\( \overline{AB}>\overline{AP}-\overline{BP} \)
當A,B,P連成一直線時有最大值\( \sqrt{2} \)


101.6.17補充
http://blog.xuite.net/ginwha/school/28573069

3.
\( log_a 27+log_b 27+log_c 27=log_{abc}27 \)

\( \frac{1}{log_{27} a}+\frac{1}{log_{27} b}+\frac{1}{log_{27} c}=\frac{1}{log_{27} abc}=\frac{1}{log_{27} a+log_{27} b+log_{27} c} \)

令\( x=log_{27}a \)，\( y=log_{27}b \)，\( y=log_{27}c \)

得到\( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \)，\( \frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z} \)，\( (xy+yz+zx)(x+y+z)=xyz \)
可看成\( f(x,y,z)=(xy+yz+zx)(x+y+z)-xyz \)，\( x=-y \)，\( y=-z \)，\( z=-x \)均為0
\( f(x,y,z)=λ(x+y)(y+z)(z+x)=0 \)
取\( x=-y \)，\( log_{27}a=-log_{27}b \)，\( ab=1 \)代入\( (abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ac)=1 \)


類似的題目請一併準備
設a,b,c為異於1之正數，且\( log_{a} 10+log_{b} 10+log_{c}10=log_{abc}10 \)，則
\( (abc)^{4}-(abc)^{2} (a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}= \)
(高中數學101　P95)
證明:如果實數a,b,c滿足關係式\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \)，則對任意奇數n，\( \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n} \)
(高中數學競賽教程P354)
若a,b,c滿足\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \)，試證:若n是自然數,\( \frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}} \)
(建中通訊解題第41期)
題外話,看公佈的解答\( (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc \)就直接得到\( (a+b)(b+c)(c+a)=0 \)
這是國中生就會的題目嗎？
設a,b,c都不為零，\( a+b+c=2 \)，\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \)，證明:a,b,c中至少有一個等於2。
(初中數學競賽教程P23)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-5-12 04:04 PM 編輯 ]

9.
已知△ABC中，\( \overline{AB}=5 \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{AC}=7 \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，\( \overline{BF}=\overline{FG}=\overline{GC} \)，如右圖，則△CHI的面積為。
[提示]
利用孟氏定理
\( \frac{\overline{GI}}{\overline{IA}}=\frac{2}{3} \)，△CGI=\( \frac{2}{5} \)△CGA
\( \frac{\overline{GH}}{\overline{HA}}=\frac{1}{6} \)，△CGH=\( \frac{1}{7} \)△CGA
△CHI=△CGI-△CGH=\( \frac{9}{35} \)△CGA=\( \frac{3}{35}\)△ABC


補充個類似題
Given a triangle ABC with area 1, points D,E,F, and G trisect BC and AC. Find the area of quadrilateral MDEN.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=146987



100.11.19補充
圖中，ABC是面積為1的三角形。D、E是AB上的點，F、G是AC上的點，使得AD=DE=EB和AF=FG=GC。求BF、BG、CD和CE圍成的區域的面積。
In the figure, ABC is a triangle with area 1. D, E are points on AB while F, G are points on AC such that AD=DE=EB and AF=FG=GC.
Find the area of the region bounded by BF, BG, CD and CE.
(第十屆培正數學邀請賽　中三組　決賽，http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F3.pdf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 11:08 AM 編輯 ]

8. (1) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_2} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }  = ?\)
　(2)  \(\displaystyle\sum\limits_{{n_{10}} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_9} =0}^{{n_{10}}} { \cdots \sum\limits_{{n_2} = 0}^{{n_3}}{\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }} }  = ?\)

補充另一種方法
(1)看成\( 0 \le n_{0} \le n_{1} \le n_{2} \le 3 \)，有\( H^4_3=20 \)種
(2)看成\( 0 \le n_{0} \le n_{1} \le ... \le n_{9} \le n_{10} \le 3 \)，有\( H^4_{11}=364 \)種

類似題
滿足\( 1 \le a \le b < c \le d \le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組？
(95新竹高商，http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-7-8 08:56 PM 編輯 ]

數列\( \{ a_n \} \)中，已知\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，且\( a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}\cdot a_n+4a_{n+1}+4a_n \)，則一般項\( a_n= \)？
[另解]
重新整理得\( a_{n+1}^2-(2a_n+4)a_{n+1}+(a_n^2-4a_n+4)=0 \)
\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+4 ±\sqrt{(2a_n+4)^2-4 \cdot 1 \cdot (a_n^2-4a_n+4)}}{2} \)
\( a_{n+1}=a_n+2+2\sqrt{2a_n} \)，\( \sqrt{a_{n+1}}^2-(\sqrt{a_n}+\sqrt{2})^2=0 \)



補充二題
設\( \{ a_n \} \)滿足\( a_1=1 \)，\( 4a_n \cdot a_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-1)^2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，求\( a_n \)？
(高中數學競賽教程P324)
其實展開後\( 2a_n \cdot a_{n+1}-1=a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n-2a_{n+1} \)和師大附中這題類似
但這題已經配方好了，直接從\( \sqrt{4a_n \cdot a_{n+1}}^2-(a_n+a_{n+1}-1)^2=0 \)著手



設數列\( a_n \)滿足\( a_{n+1}^2+a_{n}^2=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_{n}) \)，\( a_1=1 \)且\( a_{n+1}>a_n \)。令\( S_n \)表示數列前\( n \)項之和。求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \cdot a_n}= \)？1/3
http://frankliou.wordpress.com/c ... %e6%a5%b5%e9%99%90/

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-1 07:55 AM 編輯 ]