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拋物線的題目,拋物線的兩切線夾定角,求切線交點軌跡.

拋物線的題目,拋物線的兩切線夾定角,求切線交點軌跡.

拋物線 \(y=x^2\) 外一點 \(P\) 作兩條拋物線的切線,令兩切線銳夾角為 \(\alpha\),且 \(\tan \alpha=4\),求 \(P\) 點的軌跡方程式.

解答:

設 \(P(x_0,y_0)\) 且令過 \(P\) 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 \(m_1, m_2\).



對於拋物線 \(y=x^2\) ,其斜率為 \(m\) 的切線方程式為 \(y=mx - \frac{1}{4}m^2\).



所以,通過 \(P\) 的切線方程式為  \(y_0=mx_0 - \frac{1}{4}m^2\),其中 \(m\) 的兩根為 \(m_1\) 與 \(m_2\).

化簡得 \( m^2 - 4 mx_0+4y_0=0.\)



由根與係數關係式,可以得到

\[m_1+m_2 = 4x_0 \mbox{   且    } m_1m_2 = 4y_0\]

利用 \(\left(m_1-m_2\right)^2 = \left(m_1+m_2\right)^2 - 4 m_1m_2\),可得 \(\left|m_1-m_2\right| = 4\sqrt{x_0^2 - y_0}\).

且由

\[\tan\alpha = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\]
\[\Rightarrow 4 = \frac{4\sqrt{x_0^2 - y_0}}{1+4y_0}\]

化簡,可得 \(x_0^2 - 16 y_0^2 - 9 y_0 -1=0.\)

因此,可得 \(P(x,y)\) 的軌跡方程式為 \(x^2 - 16 y^2 - 9 y -1=0.\)





註:相同的方法可以用來證明

  1. 設橢圓方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\),則

   此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\).

   可以參考楊澤璿老師【閱讀橢圓】網站上的動態展示:

   連結已失效h ttp://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/tjy/edu-ellipse/square%28out-ellipse%29-ex.htm


  2. 設雙曲線方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\),則

   此雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 - b^2\).


  3. 設拋物線方程式為 \(\displaystyle x^2=4cy\),則

   此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線,即軌跡方程式為 \(y=-c\).

   可以參考王清德先生所做的動態展示:

   連結已失效h ttp://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/summer01/work/129/new_page_32.htm

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解一:利用拋物線兩互相垂直的切線交點會在準線上。

   請參考 http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d301/30105.pdf 此文中的性質一。

   把題目給的拋物線配成標準式,找出準線方程式,因準線會通過題述之定點,可得題目所求 \(k\) 值。

解二:利用根與係數關係式(亦可用來證明上面解一的性質一)。

   請參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=723

   假設切線斜率為 \(m\),列出切線方程式,再帶入題述拋物線,

   因相切判別式為零,可得切線斜率 \(m\) 需滿足的一元二次方程式,

   因兩切線互相垂直,可以此一元二次方程式的兩根之積為 \(-1\),進而得題目所求 \(k\) 值。

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