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ΔABC, 求cosA/(sinB sinC)+cosB/(sinC sinA)+cosC/(sinA sinB)之值

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ΔABC, 求cosA/(sinB sinC)+cosB/(sinC sinA)+cosC/(sinA sinB)之值

引用:
已知 \(\triangle ABC\) 的三內角為 \(A,B,C\), 求 \(\frac{\cos A}{\sin B\sin C}+\frac{\cos B}{\sin C\sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}\) 之值.
設三角形的外接圓半徑為 \(R\),面積為 \(S\),則

\[\frac{\cos A}{\sin B\sin C}+\frac{\cos B}{\sin C\sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}\]
\[=\frac{{\frac{{b^2  + c^2  - a^2 }}{{2bc}}}}{{\frac{b}{{2R}} \cdot \frac{c}{{2R}}}} + \frac{{\frac{{a^2  + c^2  - b^2 }}{{2ac}}}}{{\frac{a}{{2R}} \cdot \frac{c}{{2R}}}} + \frac{{\frac{{a^2  + b^2  - c^2 }}{{2ab}}}}{{\frac{a}{{2R}} \cdot \frac{b}{{2R}}}}\]
\[ = 2R^2 \left( {\frac{{b^2  + c^2  - a^2 }}{{b^2 c^2 }} + \frac{{a^2  + c^2  - b^2 }}{{a^2 c^2 }} + \frac{{a^2  + b^2  - c^2 }}{{a^2 b^2 }}} \right)\]
\[= \frac{{2R^2 }}{{a^2 b^2 c^2 }}\left( {a^2 \left( {b^2  + c^2  - a^2 } \right) + b^2 \left( {a^2  + c^2  - b^2 } \right) + c^2 \left( {a^2  + b^2  - c^2 } \right)} \right)\]
\[= \frac{{2R^2 }}{{a^2 b^2 c^2 }}\left( {2a^2 b^2  + 2b^2 c^2  + 2a^2 c^2  - a^4  - b^4  - c^4 } \right)\]
\[= \left( {\frac{{4R}}{{abc}}} \right)^2  \cdot \frac{1}{{16}}\left[ {\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \right] \cdot 2\]
\[= \frac{1}{{S^2 }}\left[ {\left( {\frac{{a + b + c}}{2}} \right)\left( {\frac{{ - a + b + c}}{2}} \right)\left( {\frac{{a - b + c}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + b - c}}{2}} \right)} \right] \cdot 2\]
\[= \frac{1}{{S^2 }} \cdot S^2  \cdot 2 = 2\]





另解,

\[\frac{{\cos A}}{{\sin B\sin C}} + \frac{{\cos B}}{{\sin A\sin C}} + \frac{{\cos C}}{{\sin A\sin B}} \]
\[= \frac{{\cos \left( {\pi  - \left( {B + C} \right)} \right)}}{{\sin B\sin C}} + \frac{{\cos \left( {\pi  - \left( {B + C} \right)} \right)}}{{\sin A\sin C}} + \frac{{\cos \left( {\pi  - \left( {B + C} \right)} \right)}}{{\sin A\sin B}} \]
\[=  - \frac{{\cos \left( {B + C} \right)}}{{\sin B\sin C}} - \frac{{\cos \left( {A + C} \right)}}{{\sin A\sin C}} - \frac{{\cos \left( {A + B} \right)}}{{\sin A\sin B}} \]
\[=  - \frac{{\cos B\cos C - \sin B\sin C}}{{\sin B\sin C}} - \frac{{\cos A\cos C - \sin A\sin C}}{{\sin A\sin C}} - \frac{{\cos A\cos B - \sin A\sin B}}{{\sin A\sin B}} \]
\[=  - \left( {\cot B\cot C - 1} \right) - \left( {\cot A\cot C - 1} \right) - \left( {\cot A\cot B - 1} \right) \]
\[=  - \left( {\cot B\cot C + \cot A\cot C + \cot A\cot B} \right) + 3 \]
\[=  - 1 + 3 = 2 \]

註:\(\triangle ABC\) 有性質 \(\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot A\cot C=1.\)





晚點繼續想利用『積化和差、和差化積』的解法。

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想請問一下,您的數學符號是如何輸入的呢? 還是直接用圖片上傳的...但感覺不是說~

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利用 jsMath 就可以在文章中使用 LaTeX 語法。

jsMath 是利用瀏覽器內建的 JavaScript 直譯器來執行的程式,

然後解譯文章中的 LaTeX 指令,並且

在 Client 端即時抓取 Server 端的相關數學圖檔、符號,

或是抓取使用者事先安裝的 TeX 字型。

所以顯示的快慢與 Client 端瀏覽器內建的 JavaScript 直譯器執行速度、

網路速度有直接相關。

對於使用者言,只要會 LaTeX 語法,就如同在單機電腦編輯 LaTeX 一般,

十分方便。 ^__^




Note: 在本站中,為了效率考量,關掉了單一$的行內數式表示語法,只留下了如下的三種數式表示語法。



   第一列為行內數式的用法,第二、三列為展示數式的用法。





相關參考資料:

1. jsMath 官網: http://www.math.union.edu/~dpvc/jsMath/

2. 政大 蔡炎龍老師網頁說明: http://yenlung.math.nccu.edu.tw/forum/viewtopic.php?t=5

3. 『大家來學 LaTeX 』: http://edt1023.sayya.org/tex/latex123/

4. cwTeX 網頁: http://homepage.ntu.edu.tw/~ntut019/cwtex/cwtex.html

 在 cwTeX 網頁的左側有《cwTeX3 手冊》http://homepage.ntu.edu.tw/~ntut019/cwtex/cxbook3.pdf

 這本書的第二版跟第三版我都有買,是本很棒的書,感謝作者們免費提供電子版給大家線上瀏覽。

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