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教甄筆試心得分享 103.7.18寸絲教甄筆記大更新快來下載

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教甄試題整理

「前人種樹,後人乘涼。」幾位老師的心得分享和書單及教甄準備方向都很精采。

書單及各種競賽考題,令人讚為觀止。

書,寸絲手邊雖是有幾本,但多束之高閣,無瑕細讀,偶爾翻閱。

各式考題,難易各有高低,考試方向與教甄亦有遠近,但亦無暇細分。

而寸絲準備教甄過程中,多是以考古題主,苦思、爬文、討論及請教其他老師。

數學科的考古題,可謂眾多,光是做考古題,幾乎就是做不完了,

幸有 Mathpro 上的討論串,可供參考查閱,

準備之時,對每份考題的每一題,都不輕易放過,雖有一解,但若覺粗糙、麻煩,

則應深思其它妙之解,或爬文、請教他人。

今日野人獻曝,整理歸類部分教甄試題,希望可供其他準備教甄的老師們參考。

其內容少部分附有解法,多數題目則留予網友們自行做答

每題亦附出處,如有需要,可自行在 Mathpro 上搜尋該份試題的討論串

單元內容

  • 數列
  • 級數
  • 方程式
  • 不定方程
  • 整理論
  • 多項式
  • 根與係數關係
  • 二次函數
  • 函數圖形的對稱性
  • 排列組合
    --------------------------2013.03.24 增加--------------------------
  • 三角
  • 向量、斜坐標
  • 幾何
    --------------------------2013.03.29 增加--------------------------
  • 柯西不等式
  • 算幾不等式
  • 三角不等式、凸函數不等式
  • 極值問題
    --------------------------2013.04.04 增加--------------------------
  • 圓錐曲線
  • 矩陣、行列式
  • 微積分


--------------------------2013.05.30 補充-------------------------------

前文 superlori 的心得提到:「觸類旁通、建立筆記、一題多解」。這一點寸絲也十分贊同,大概除了筆記做得少一些以外,其它兩點都實行了。以下來談談在這方面的經驗:

相信考古題大家都在做,同樣的考古題練習,要考得比人好,當然是下的功夫要比其它人多。一題不只是一題,還要做更深更多的思考,實力才會更進一步。

舉例來說:102 全國聯招考了一題:高斯符號 \( [x] \),表示不大於 \( x \) 的最大整數值。試求 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right] \) 的個位數字。我的做法是 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right]=(5+2\sqrt{6})^{1006}+(5-2\sqrt{6})^{1006}-1 \)。然後兩項式展開,有根號的互消,沒根號的幾乎都是 10 的倍數,所以答案大概就出來了。

有時間才看一次,重新想想,便開始胡思亂想。是否有其它類似題,如何變化,萬一不是這麼剛好可以乘出一堆 \( 10 \) 的倍數怎麼辦?要是改問除以 7  的餘數,那如何?結果就想了另一個方法和萊因哈特weiye 兩位老師的作法相同,也就是利用遞迴數列,觀察有限的循環節。

順帶放個題目給諸位練習,99南港高工:設 \( [x] \) 表示不大於 \( x \) 的最大整數,求 \( \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2010}\right] \) 除以 7 的餘數。

教甄的試題,坦白說題目就那些(好大的那些範圍),但總不能期望數據一樣,一成不變。當這個類題出現時,但數據不同,或許原先的「特例」解法就不適用,因此做考古題的時候,不只是善完成那份題目,更進一步的問問,是個巧合,還是一般性的做法?否則真的出現,大概就是「啊!~這題我看過做過,但...做不出來」,如果事先想過,結局就是反過來:「你會而別人不會」。

再舉個例子:求 \( \sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}\sin\frac{3\pi}{n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}} \)。這個式子或許知道,或許推得出來。做完之後聯想:那 \( \cos \) 的連乘積呢?
於是乎,又可以做出一個式子  \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^{n}} \),其中奇數是因為:分母如果是偶數,那必有一項是 \( \cos\frac{\pi}{2}=0 \),而得乘積就無聊了。那麼問又可改成分母偶項,拿掉 \( \cos\frac{\pi}{2} \) 那項,就像是99文華高中:\( \cos10^{\circ}\cos20^{\circ}\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}\cos50^{\circ}\cos60^{\circ}\cos70^{\circ}\cos80^{\circ}=\) _________。
Joy091 老師 利用餘角關係把它換成 \( \sin \),問題就解決了。
餘角關係,又給了一個新的想法,是不是 \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1} \) 也可換成 \( \sin \) 處理?試著一寫得到 \( \sin\frac{\pi}{4n+2}\sin\frac{3\pi}{4n+2}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} \),
我們又得到一個 \( \sin \) 連乘積的推廣問題。

101 武陵高中也考了一題:\( \sin1^{\circ}\sin3^{\circ}\sin5^{\circ}\cdots\sin87^{\circ}\sin89^{\circ} \)。
而這個問題我正好想過,還推廣成一般的情形:\( n\in\mathbb{N} \), \( \theta=\frac{\pi}{n} \),求 \( \prod\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\theta) \)。

除了自己胡思亂之外,還有 Mathpro 上網友的挑戰,例如102 武陵高中:求函數 \( f(x)=\frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x} \) 的值域。一開始我知道 5 倍角可以做,但不想用 5 倍處理,嘗試之後,失敗了。而隔了一段時間後,有網友詢問是不否有非 5 倍角的做法,而再次挑戰。

發展不同的解法,對這一題的分數而言,可能沒有什麼意義,但考題非是一成不變,「觸類旁通、一題多解」,正是累積自己實力的方法,即使題目改了,方法一失效,還有方法2,這就是額外下功夫的收獲。

-------------------------- 2014.03.29 修正--------------------------
感謝 natureling、Redik、smartdan 指出多處筆誤及誤植,及其它計算錯誤。檔案中,以用紅字標示
新舊的內容差異不大,主要是修正錯誤,合併同類型題目,以及增加 ★ 標示部分較難的問題,基本上看過舊版的就不需新版了

--------------------------103.07.20 --------------------------
Mathnote0718,主要更動如下

  • 將重覆出現的題型,以同題號子題標示,以量表示其重要性。
  • 以★標記部分難題,這些難題其實大多數可能沒有很重要。
  • 將部分主題(子題)中的少數較不重要題目刪除或移至該子題結尾的倒數幾題。
  • 增加第 21 主題:其它,包含其它常考題但未列入前 20 個主題,如二進位、數學歸納法、連分數、變量中的不變數…


102.10.10版主補充
若你發現錯誤的地方,可以到寸絲的部落格回應
http://tsusy.wordpress.com/2013/ ... %AF%87/#comment-157

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-7-20 08:34 PM 編輯 ]

附件

math note 01-10 by tsusy.pdf (1.77 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 9377

最後更新 2013.03.29

math note 11-13 by tsusy.pdf (1.93 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 7024

最後更新 2013.03.29

math note 14-17 by tsusy.pdf (1.45 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 5980

最後更新 2013.03.29

math note 18-20 by tsusy.pdf (1.59 MB)

2014-3-29 13:53, 下載次數: 6935

最後更新 2013.03.29

文不成,武不就

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回復 19# cherryhung 的帖子

同感,寸絲自認為是實力存在考場之外的人。但實際情況上,其它人也好不到哪去吧,不是只有你一個人在緊張在懊惱。

為什麼?因為,考試是很現實的限時作答。因為有時限,所以做題的順序必然是先挑看過會寫的題型

寫完之後,剩下來的事:檢查驗算或處理其它題目。有限時間加上過多的空格,就會發生,這題想想...沒有頭緒

換一題,也許另一題比較簡單。就這樣換來換去,時間就這樣渡過,也許做出了幾題,又遺留了幾題。

幾次的教甄之後,發現其實計算錯誤及遺漏、看錯題,不比這些遺珠之憾來得少

與其把時間花在上面,也許不如仔細驗算檢查 (當然每個人的情況不一樣)

前文 weiye 老師說了限時模擬考試。我也是採同樣的做法,只是通常限制時間是更短的 80 分鐘或 90 鐘。

把時限練好,至於和考場的時差,和拿來做什麼,就看自己的決定。

還有,沒有人不犯錯,即使像我今年無壓力地偷某試題時,有也有一題忘記平方 \( a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 \), 一題不小心看錯題目

類似的錯誤,很頻繁常見,而我的態度是

1. 降低出錯率,每場考試,除了筆試過或不過,還要算算自己這場發揮了多少?是 7 成、8 成,還是只有 6 成?

2. 如果發揮的比上不去,那就提升分母,也就是更加緊地練習筆試,以增提升功力,練到,即使只有 6 成發揮,也要考進複試
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