「前人種樹，後人乘涼。」幾位老師的心得分享和書單及教甄準備方向都很精采。
書單及各種競賽考題，令人讚為觀止。
書，寸絲手邊雖是有幾本，但多束之高閣，無瑕細讀，偶爾翻閱。
各式考題，難易各有高低，考試方向與教甄亦有遠近，但亦無暇細分。
而寸絲準備教甄過程中，多是以考古題主，苦思、爬文、討論及請教其他老師。
數學科的考古題，可謂眾多，光是做考古題，幾乎就是做不完了，
幸有 Mathpro 上的討論串，可供參考查閱，
準備之時，對每份考題的每一題，都不輕易放過，雖有一解，但若覺粗糙、麻煩，
則應深思其它妙之解，或爬文、請教他人。
今日野人獻曝，整理歸類部分教甄試題，希望可供其他準備教甄的老師們參考。
其內容少部分附有解法，多數題目則留予網友們自行做答
每題亦附出處，如有需要，可自行在 Mathpro 上搜尋該份試題的討論串
單元內容
- 數列
- 級數
- 方程式
- 不定方程
- 整理論
- 多項式
- 根與係數關係
- 二次函數
- 函數圖形的對稱性
- 排列組合
--------------------------2013.03.24 增加--------------------------
- 三角
- 向量、斜坐標
- 幾何
--------------------------2013.03.29 增加--------------------------
- 柯西不等式
- 算幾不等式
- 三角不等式、凸函數不等式
- 極值問題
--------------------------2013.04.04 增加--------------------------
- 圓錐曲線
- 矩陣、行列式
- 微積分
--------------------------2013.05.30 補充-------------------------------
前文 superlori 的心得提到：「
觸類旁通、建立筆記、一題多解」。這一點寸絲也十分贊同，大概除了筆記做得少一些以外，其它兩點都實行了。以下來談談在這方面的經驗：
相信考古題大家都在做，同樣的考古題練習，要考得比人好，當然是下的功夫要比其它人多。一題不只是一題，還要做更深更多的思考，實力才會更進一步。
舉例來說：102 全國聯招考了一題：高斯符號 \( [x] \)，表示不大於 \( x \) 的最大整數值。試求 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right] \) 的個位數字。我的做法是 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right]=(5+2\sqrt{6})^{1006}+(5-2\sqrt{6})^{1006}-1 \)。然後兩項式展開，有根號的互消，沒根號的幾乎都是 10 的倍數，所以答案大概就出來了。
有時間才看一次，重新想想，便開始胡思亂想。是否有其它類似題，如何變化，萬一不是這麼剛好可以乘出一堆 \( 10 \) 的倍數怎麼辦？要是改問除以 7 的餘數，那如何？結果就想了另一個方法和
萊因哈特及
weiye 兩位老師的作法相同，也就是利用遞迴數列，觀察有限的循環節。
順帶放個題目給諸位練習，99南港高工：設 \( [x] \) 表示不大於 \( x \) 的最大整數，求 \( \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2010}\right] \) 除以 7 的餘數。
教甄的試題，坦白說題目就那些(好大的那些範圍)，但總不能期望數據一樣，一成不變。當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是善完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？否則真的出現，大概就是「
啊！~這題我看過做過，但...做不出來」，如果
事先想過，結局就是反過來：「
你會而別人不會」。
再舉個例子：求 \( \sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}\sin\frac{3\pi}{n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}} \)。這個式子或許知道，或許推得出來。做完之後聯想：那 \( \cos \) 的連乘積呢？
於是乎，又可以做出一個式子 \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^{n}} \)，其中奇數是因為：分母如果是偶數，那必有一項是 \( \cos\frac{\pi}{2}=0 \)，而得乘積就無聊了。那麼問又可改成分母偶項，拿掉 \( \cos\frac{\pi}{2} \) 那項，就像是99文華高中：\( \cos10^{\circ}\cos20^{\circ}\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}\cos50^{\circ}\cos60^{\circ}\cos70^{\circ}\cos80^{\circ}=\) _________。
Joy091 老師 利用餘角關係把它換成 \( \sin \)，問題就解決了。
餘角關係，又給了一個新的想法，是不是 \( \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1} \) 也可換成 \( \sin \) 處理？試著一寫得到 \( \sin\frac{\pi}{4n+2}\sin\frac{3\pi}{4n+2}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} \)，
我們又得到一個 \( \sin \) 連乘積的推廣問題。
101 武陵高中也考了一題：\( \sin1^{\circ}\sin3^{\circ}\sin5^{\circ}\cdots\sin87^{\circ}\sin89^{\circ} \)。
而這個問題我正好想過，還推廣成一般的情形：\( n\in\mathbb{N} \), \( \theta=\frac{\pi}{n} \)，求 \( \prod\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\theta) \)。
除了自己胡思亂之外，還有 Mathpro 上網友的挑戰，例如102 武陵高中：求函數 \( f(x)=\frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x} \) 的值域。一開始我知道 5 倍角可以做，但不想用 5 倍處理，嘗試之後，失敗了。而隔了一段時間後，有網友詢問是不否有非 5 倍角的做法，而再次挑戰。
發展不同的解法，對這一題的分數而言，可能沒有什麼意義，但考題非是一成不變，「觸類旁通、一題多解」，正是累積自己實力的方法，即使題目改了，方法一失效，還有方法2，這就是額外下功夫的收獲。
-------------------------- 2014.03.29 修正--------------------------
感謝 natureling、Redik、smartdan 指出多處筆誤及誤植，及其它計算錯誤。檔案中，以用
紅字標示
新舊的內容差異不大，主要是修正錯誤，合併同類型題目，以及增加 ★ 標示部分較難的問題，基本上看過舊版的就不需新版了
--------------------------103.07.20 --------------------------
Mathnote0718，主要更動如下
- 將重覆出現的題型，以同題號子題標示，以量表示其重要性。
- 以★標記部分難題，這些難題其實大多數可能沒有很重要。
- 將部分主題(子題)中的少數較不重要題目刪除或移至該子題結尾的倒數幾題。
- 增加第 21 主題：其它，包含其它常考題但未列入前 20 個主題，如二進位、數學歸納法、連分數、變量中的不變數…
102.10.10版主補充
若你發現錯誤的地方，可以到寸絲的部落格回應
http://tsusy.wordpress.com/2013/ ... %AF%87/#comment-157
110.8.21
經網友listenasics同意後將文章轉到這裡
寸絲老師筆記 第一次手寫(全)：
https://reurl.cc/no80d8
(檔案有423MB，建議使用電腦下載)
補充：上面有些題目，我第一次解法的觀念是錯的，我印下來寫第二次甚至到第三次才把觀念完全補到正確。
其餘請見原文章
https://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1629008566.A.F8B.html
