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多項式的題目,偶數次數的多項式 f(x),求 f(7) + f(-3).

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多項式的題目,偶數次數的多項式 f(x),求 f(7) + f(-3).

設 \( f(x) \) 為領導系數為 1 的四次多項式,已知 \( f(1)=5, f(2)=9, f(3)=13 \),求 \( f(7)+f(-3) \) 之值。

解:


\[ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1,\]

\[
f(7) + f(-3) =\left( 6\cdot 5\cdot 4 (7-a) + 29 \right) + \left( (-4)\cdot (-5) \cdot (-6) (-3-a) + -11 \right)
\]
\[
=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left((7-a)-(-3-a)\right) + 18 = 1218.
\]

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回復 3# eggsu1026 的帖子

Q:如何確定您找的特例可以確保答案正確?

觀察易知 \(g(x)=4x+1\) 亦滿足 \(g(1)=5,g(2)=9, g(3)=13\)

則 \(f(1)-g(1)=0, f(2)-g(2)=0,f(3)-g(3)=0\)

由因式定理,可知 \(f(x)-g(x)\) 有 \(x-1, x-2,x-3\) 的因式,

且因為四次多項式 \(f(x)\) 的首項係數為 \(1\),\(g(x)\) 為三次式,

所以可以令 \(f(x)-g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\Rightarrow f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+g(x).\)



註:

如果觀察不到,改利用 Lagrange 插值找出來滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式 \(\displaystyle \frac{5(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+\frac{9(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+\frac{13(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\)

展開後亦會是 \(4x+1\),也就是滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的最低次數的多項式,

不信的話~你也可以把你用牛頓插值法找出來的多項式減去 \((-5/6)\) 倍的 \((x-1)(x-2)(x-3)\) ,以消去三次項係數,

亦會得 \(4x+1\)

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回復 6# eggsu1026 的帖子

不知您有沒有發現,您找到的都是

其實通式為 \(4x+1 + (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 的多項式呢~:)

而 \(4x+1\) 本來就可以隨便換成其他的~像是換成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)\)

然後把通式改寫成 \(4x+1+10000000(x-1)(x-2)(x-3)+ (x-1)(x-2)(x-3)\times Q(x)\) 亦可呀~

並沒有唯一性呀~除非您有要求那個特解具有更多的性質~像是~次方數要最小~

不然其實並沒有唯一性~也可以用觀察而得特解~都可以呀~



另外~而 Lagrange 本來就可以拿來找高次多項式呀~

不太瞭解您的問題點?:)

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回復 8# eggsu1026 的帖子

沒錯~ \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 4x+1\)

即是在滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式以外~

額外要求的"首項係數為 \(1\) 且為四次多項式"之下的通解。

如果題目只有寫 \(f(x)\) 為滿足 \(f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13\) 的多項式,

那我就會寫成 \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + 4x+1\) 了~(其中 \(Q(x)\) 是 \(x\) 的多項式)


另外,

關於分數的顯示~

可以參考這篇 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=705&page=1#pid1201 最下方的回覆~

在 LaTeX 裡面~分數的語法式 \frac{分子}{分母}

:)

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回復 6# eggsu1026 的帖子

以此題為例,

關於這個題目設計的關鍵點~

或許就是在  \((x-1)(x-2)(x-3)(x-a)\) 這一塊~

當中 \(x-a\) 前面的係數 \((x-1)(x-2)(x-3)\)

1. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\((x-1)(x-2)(x-3)\),可以得到異號的兩相反數,

2. 當 \(x\) 以 \(2\pm h\) 帶入\(x-a\),可以得到 \(a\) 前面的係數相同~

因此,題目才會設計成要問 \(f(2+h)+f(2-h)\) ,其中 \(h\) 為某已知數字。



小弟心底偷偷思尋~那可否修改題目~將 f(x) 改為五次呢?

那要怎樣設計題目怎樣的兩數,才能讓 \(f(\mbox{第一數})\pm f(\mbox{第二數})\) 求出定值呢?

似乎做得出來~:P

然後~還是設計成三數呢?

首相係數不為 1 ~改為其他數呢?

可以設計得出來~但如果數字要好看~就要花點心思了!:P

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