我也來補充一個 Weitzenböck 不等式的證明好了，
設 \(a, b, c\) 三邊上的中線分別為 \(m_a, m_b, m_c\)，三邊上的高分別為 \(h_a, h_b, h_c\)，
則中線長≧高，
\[ m_a\geq h_a, m_b\geq h_b, m_c\geq h_c\]
\[ ⇒ \frac{1}{2} a m_a\geq \frac{1}{2} a h_a=S, \frac{1}{2} b m_b\geq \frac{1}{2} b h_b=S, \frac{1}{2} c m_c\geq \frac{1}{2} c h_c=S\]
兩邊同時平方，可得
\[ ⇒ \frac{1}{4} a^2 m_a^2\geq S^2, \frac{1}{4} b^2m_b^2\geq S^2, \frac{1}{4} c^2 m_c^2\geq S^2\]
\[ ⇒ a^2 m_a^2\geq 4 S^2, b^2m_b^2\geq 4 S^2, c^2 m_c^2\geq 4 S^2\]
三式相加，可得
\[ a^2m_a^2 + b^2m_b^2 + c^2m_c^2\geq 12 S^2..............（＊）\]
由三角形的中線定理，可得
\[2\left[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + m_a^2\right]=b^2+c^2 ⇒ m_a^2 = -\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + m_b^2\right]=a^2+c^2 ⇒ m_b^2 = \frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2\right]=a^2+b^2 ⇒ m_c^2 = \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\]
上三式代入（＊），可得
\[ a^2\left(-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\right) + b^2\left(\frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\right) + c^2\left(\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)\geq 12 S^2\]
\[⇒ 4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\geq 48 S^2\]
\[⇒ \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 -\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒ \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \geq 48 S^2+\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒ a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S.\]
