找出圖形的規律
這份筆記原本預計在4.1要公佈的,但因為有其他的事耽擱了。裡面有一題原本是要網友去翻書的,想不到台中一中卻考出來,原本想要將那段內容刪除,但後來想想這是我辛苦看書找來的,於是就原封不動的保留下來。
不知道各位在準備教甄時有沒有閱讀其他數學的書?還是只準備考古題?我有時候會到大學的圖書館或自己任教學校的圖書館借書來看,或許絕大部分的內容在考試時用不上,卻可以充實自己的知識。
這份筆記所用到的解題技巧是我在"拼圖拼字拼數學"看到的,書上內容用切鬆餅來解釋牛頓插值公式,後面還有更多相關的問題。我甚至在教數列與級數和遞迴關係時教學生用這樣的技巧解題,至少學生都還能接受。
我當初在100北一女中也用了這個技巧,只是那時還在整理筆記有些東西想等到公佈筆記時再來說,在此感謝tsusy提供解答。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=2#pid4474
另外我在"數學馬戲團"一書中,Martin Gardner收錄了一題圖形計數問題,此數列的前幾項為1、2、4、8、16、31、57、99、163、256、386、562、……
我覺得這題很刁鑽,為了找數列前幾項就會畫圖數數看,萬一不小心在第6項數成32個你大概也不會再檢查第7項,開頭前幾項可能會讓你誤以為答案是\( 2^{n-1} \)。但假如沒落入陷阱之中的話,其實只要前5項數字經過四階差分就可以算出公式。若你是教甄的出題老師不妨考慮出這題,可以試看看有多少考生寫\( 2^{n-1} \)這個答案。
在圓上任取12個點,兩兩相連所得的直線,最多將此圓內區域分割成為幾個區域?
(101台中一中,
https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)
101.5.6補充
cplee8tcfsh提供此問題的組合意義
\( \large a_n=C_4^n+C_2^n+1 \)
https://math.pro/db/thread-1347-1-1.html
101.6.14補充
猜或不猜 游森棚
http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html
101.8.1補充
https://math.pro/db/thread-916-1-1.html
weiye補充的數學傳播文章
王子俠,一組弦可將圓分成幾部份?(一道簡單的計數問題所引發的兩個啟示)
101.10.20補充
設一個凸n邊形中任意三條對角線都不共點,試問所有對角線將這個n邊形的內部分成了多少個區域?
[解答]
去掉一條對角線,區域的個數減少\( k+1 \),其中k是其他對角線與這條對角線的交點(不算端點)的個數。再去掉一條對角線,區域又減少\( k'+1 \)個,其中\( k' \)是其他(未去掉的)對角線與這條對角線的交點(不算端點)的個數。這樣繼續下去,直至所有對角線都被去掉,最後只留下1個區域。
因此,所求區域數是\( 1+(k+1)+(k'+1)+... \) (1)
(1)中括號的個數是對角線的條數,即\( \displaystyle \frac{1}{2}n(n-3) \)。而\( k+k'+... \)是對角線的交點(不算端點)的個數。由於每三條對角線不共點,所以每個交點由兩條無公共端點的對角線唯一確定,即由4個頂點唯一確定。因此\( k+k'+...=C_4^n \)。
所求區域數\( \displaystyle =1+\frac{1}{2}n(n-3)+C_4^n=C_4^n+C_2^{n-1} \)。
(單墫:算兩次,P109)
108.5.8補充
在圓周上,取\(n\)個相異點,任兩點作連線,這些線段最多可以將圓內部分割成\(P(n)\)塊區域。數學家知道\(P(n)\)是\(n\)的四次多項式函數。請問\(P(7)\)的值為
(94高中數學能力競賽 北區第一區(花蓮區) 筆試二試題,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
101.5.17補充
將坐標平面在第一象限內x,y坐標都是整數的點依次排序而不遺漏,例如:第1點(1,1)、第2點(2,1)、第3點(1,2)、第4點(1,3)、第5點(2,2)、第6點(3,1)、第7點(4,1)…試問第1000點的坐標為?
(101師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,
http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)
101.6.22補充
令第i行第k個數字為\( f(i,k) \),此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \),且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \),其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為?
(101松山家商,
https://math.pro/db/thread-1425-1-1.html)
101.7.11補充
The figures \( F_1 \),\( F_2 \),\( F_3 \), and \( F_4 \) shown are the first in a sequence of figures. For \( n \ge 3 \),\( F_n \) is constructed from \( F_{n-1} \) by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than \( F_{n-1} \) had on each side of its outside square. For example, figure \( F_3 \) has 13 diamonds. How many diamonds are there in figure \( F_{20} \)?
(A)401 (B)485 (C)585 (D)626 (E)761
(2009AMC12,
http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2009)
101.9.22補充
如下圖所示,在坐標平面上,從第1點(0,0)開始到第2點(1,0),再到第3點(1,1),再到第4點(0,1),再到第5點(-1,1),再到第6點(-1,0),…。依逆時針方向環繞坐標平面上的整數格子點,每次走一單位,只能前進或左轉且不重複,也不遺落任何整數格子點。試求:
(1)第100點的坐標。
(2)第1000點的坐標。
(3)第k點的坐標。(以k表之)
(99台灣師大教師在職進修碩士學位班考題,
http://www.lib.ntnu.edu.tw/annou ... 5-D15B-D5FBD7D4801E)
試根據右圖的規律,將坐標平面在第一象限內x,y坐標都是整數的整數點依次排序而不遺漏。
第1點(1,1),第2點(2,1),第3點(1,2),第4點(1,3),第5點(2,2),第6點(3,1),第7點(4,1),…。
(1)試問第100點的坐標為何?
(2)試問坐標為(20,12)是排在第幾點?
(3)試問第10000點的坐標為何?
(101台灣師大教師在職進修碩士學位班考題,
http://www.lib.ntnu.edu.tw/annou ... 3-D618-38978632841F)
101.11.6補充
如下圖,根據下列5個圖形及相應點個數的變化規律,試猜測第15個圖中共有
個點。
(圖請看連結)
(2009全國公私立高中第一次學測模擬考,
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA141.swf)
102.4.21補充
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=10#pid7811
有人在問這個方法的原理是什麼?推薦各位可以去找這本書來看
華羅庚,與中學生談中國數學史上的幾大成就
從第17頁開始介紹了什麼是差分多項式,若f(x)是m次多項式,則第m階差分為常數的原因,以及如何從差分的結果重新將f(x)表示出來。
105.6.10補充
下圖1堆一層需1個積木,圖2堆兩層需4個積木,圖3堆三層需9的積木,若依此積木堆疊原則不變,則堆100層需要 個積木才能堆疊完成圖形。
(105松山家商,
https://math.pro/db/thread-2528-1-1.html)
110.8.16補充
下表中,各行與各列均成等差數列,則第20行第20列的數字為
。
\(\matrix{3&5&7&9&11&13&15&17&19&\ldots\cr
4&7&10&13&16&19&22&25&28&\ldots\cr
5&9&13&17&21&25&29&33&37&\ldots\cr
6&11&16&21&26&31&36&41&46&\ldots\cr
7&13&19&25&31&37&43&49&55&\ldots\cr
8&15&22&29&36&43&50&57&64&\ldots\cr
9&17&25&33&41&49&57&65&73&\ldots\cr
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&}\)
(110蘭陽女中,
https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)
111.3.22補充
如下圖,第一個圖是由12根火柴棒組成的一個正立方體,第二個圖是在第一個圖的下方增加3個正立方體;第三個圖是在第二個圖的下方增加5個正立方體,依此類推,其中銜接處的火柴棒都是共用的,例如:第二個圖是由36根火柴棒所組成。若\(n\)為正整數,則第\(n\)個圖是由______根火柴棒所組成。(以\(n\)的數學式表示)
(110高中數學能力競賽臺北市筆試二,
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
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雖然也是圖形規律的題目,但一般項有指數形式,無法用上面的速解法
101.7.8補充
請觀察右圖三角形陣列中數字之規則,令\( a_n \)為第n列之所有數字和,則\( a_{50} \)除以100之餘數為
\( \matrix{& & & & 0 & & & & & 第1列\cr
& & & 1 & & 1 & & & & 第2列\cr
& & 2 & & 2 & & 2 & & & 第3列\cr
& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & & 第4列\cr
4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 & 第5列}\)
(101文華高中代理,
https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)
101.10.13補充
在下列的三角形陣列中,對k=1,2,3,…,由上而下的第k列是由k個數所排成,其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1,而中間的數都是上一列相鄰兩數之和,則第100列的數之總和除以100的餘數為?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & & \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 & \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100全國高中數學競賽 臺北市筆試(二),
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
111.4.2補充
在右列的三角形陣列中,在兩條邊上依序填入2、3、4、⋯⋯連續自然數,中間的數都是上一列相鄰兩數之和(類似巴斯卡三角形),所以第一列所有數字的總和為2,第二列所有數字的總和為6,以此類推,試求第2022列所有數字的總和除以1000的餘數為何?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & & \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 & \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(111樟樹實創高中,
https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html)
101.10.10補充
1 2 3 4 5 6 … 99 100
3 5 7 9 11 ……… 199
8 12 16 20 ………
20 28 36 ………
………………
…………
a
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
(98北一女中,
https://math.pro/db/thread-784-1-1.html)
下面一系列的圖形,隱藏了一些規則,即
(圖請看連結)
令在第1個圖、第2個圖、第3個圖、...、第n個圖中最下面一層的唯一數字分別為\( a_1 \)、\( a_2 \)、\( a_3 \)、...、\( a_n \)。如上圖,其中\( a_1=3 \),\( a_2=8 \),\( a_3=20 \)。則當\( n=2011 \)時,最下面一層唯一的數字\( a_{2011}= \)?
(100建國中學科學班甄選 數學能力測驗,
http://www.ck.tp.edu.tw/~scicla/pdf/101/100math1.pdf)
101.11.6補充
如下圖(一)、(二)、(三),三角形的個數分別為\( a_1=5 \),\( a_2=17 \),\( a_3=53 \),則\( a_8= \)?
(圖請看連結)
(2012台中區第一次學測模擬考,
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA359.swf)
103.5.15補充
將自然數按下表的方式排列,從上到下第i列,從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \),例如\( f(3,4)=18 \),試求\( f(45,45)= \)
。
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & & \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … & & & \cr
15 & 20 & 26 & … & & & & \cr
21 & 27 & … & & & & & \cr
28 & … & & & & & & } \)
(103彰化高中,
https://math.pro/db/thread-1890-1-1.html)
109.6.6補充
將偶數數列\(S=\{\;2,4,6,\ldots,2n,\ldots \}\;\)排列為以下陣列,第\(i\)列第\(j\)行為\(a_{ij}\),例如,\(a_{32}=18\),試求一般項\(a_{ij}\)。
\(\matrix{&1&2&3&4&5&\ldots&j &行\cr
1&2&4&8&14&&&\cr
2&6&10&16&&&&\cr
3&12&18&&&&&\cr
4&20&&&&&&\cr
5&&&&&&&\cr
\vdots&&&&&&&\cr
i&&&&&&&a_{ij}\cr
列&&&&&&&}\)
(109全國高中職聯招,
https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html)
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不是每一個題目都要用差分來作,比較簡單的題目還是用Σ來作比較方便
101.10.31補充
某水泥匠依設計圖鋪地磚,方法如圖(1)所示逐層鋪設:若此水泥匠共用10000塊黑白地磚鋪設ㄧ正方形廣場,請問其中黑色有多少塊?
(1)4950塊 (2)5000塊 (3)5050塊 (4)5150塊 (5)5250塊
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圖(1)
(101北區學測第二次模擬考,
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA361.swf)