計算證明4
\( \Delta ABC \)中，設\( a,b,c \)分別為其三內角\( ∠A,∠B,∠C \)的對邊，\( \Delta \)為其面積，而\(R\)為其外接圓半徑
(1)試證：\( \displaystyle cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4 \Delta} \)
(2)利用(1)證明：若\( cot A,cot B,cot C \)成等差數列，則\( a^2,b^2,c^2 \)亦成等差數列
(3)如圖：設\( \Delta ABC \)內部一點\(P\)，使得\( ∠PAB=∠PBC=∠PCA=\alpha \)，利用(1)證明：\( cot \alpha=cot A+cot B+cot C \)
(4)試證：\(a^2+b^2+c^2 \ge 4 \sqrt{3} \cdot \Delta\)
借標題向諸位請教，計算證明 4.(4) 怎麼用前面小題的結論會比較方便
在 4(3) 中，有先得到 \( a^2 + b^2 + c^2 = 4 \triangle \cot \alpha \)
如果可以證出 \( \alpha \leq 30^\circ \) 加上布洛卡兒點的存在性? 即可得證 (4)
先給個無關題組的另證1：
由算幾不等式可得 \( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{3}\geq27a^{2}b^{2}c^{2} \)
\( \frac{a}{2}=\frac{s-b+s-c}{2} \Rightarrow\frac{a}{2}\geq\sqrt{(s-b)(s-c)} \Rightarrow a^{2}\geq4(s-b)(s-c) \) (a,b,c 可互換)
結合上兩行得 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{3}\geq3^{3}a^{2}b^{2}c^{2}\geq12^{3}(s-a)^{2}(s-b)^{2}(s-c)^{2} \)。
由柯西不等式有 \( (a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot(1+1+1)\geq(a+b+c)^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq\frac{4}{3}s^{2} \)。
結合上兩行得 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{4}\geq\frac{12^{4}}{9}\triangle^{4} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)。
另證2：
\( a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}\geq ab+bc+ca=2\triangle(\csc A+\csc B+\csc C) \)
而 \( (\csc\theta)''=\frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{3}\theta}+\frac{1}{\sin\theta} \)，故 \( \csc\theta \) 在 \( (0,\pi) \) 上為凸函數 (凹向上)，因此 \( \frac{\csc A+\csc B+\csc C}{3}\geq\csc60^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}} \)，
所以 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq=2\triangle(\csc A+\csc B+\csc C)\geq4\sqrt{3}\triangle \)。
