填充題2. 已知方程式 x⁵ - 32 = 0 的四個相異虛根為 α, β, γ, δ，設 f(x) = x³ + x² + 1，則 f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = ?

解:

本題除了可以單獨考慮四個相異虛根，亦可綜合考慮所有的 n 次方根。

由極坐標配合同餘觀念，易知 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 1+1+1+1+1 = 5

因此，f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 5 - f(2) = 5 - 13 = - 8

引用:

原帖由 cefepime 於 2015-8-23 08:17 PM 發表
填充題2. 已知方程式 x⁵ - 32 = 0 的四個相異虛根為 α, β, γ, δ，設 f(x) = x³ + x² + 1，則 f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = ?

解:

本題除了可以單獨考慮四個相異虛根，亦可綜合考慮所有的 n 次方根。

由極 ...

抱歉，同餘的部份可以稍微解釋怎麼使用在這裡的嗎?感謝

回復 12# deca0206 的帖子

事實上，若非 0 複數 Z 的 k 個相異 k 次方根 ( k > 1，k∈N) 為 Z1, Z2, ..., Zk，則對於非 k 倍數的整數 n，有 Z1ⁿ + Z2ⁿ + ... + Zkⁿ = 0。

本題可直接利用此性質，得 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 0+0+1+1+1+1+1 = 5

如果忘了上述性質，亦可利用極坐標體會之:

97松山家商第2題.png (5.73 KB)

2015-8-26 18:32

x⁵ - 32 = 0 的五個相異五次方根為 2, α, β, γ, δ，其在極坐標的位置如上圖左，為正五邊形的五個頂點，其主幅角分別為 0, θ, 2θ, 3θ, 4θ (θ = 2π/5)。

現以各根之三次方為例，除了絕對值三次方外，其幅角分別成為 3mθ, m = 0,1,2,3,4。

由於 m 取不同值時，各 3m 對於 5 之餘數皆不同 (也因此主幅角各異)，所以上述五個根三次方後 (2³, α³, β³, γ³, δ³)，其在極坐標的位置如上圖右，為正五邊形的五個頂點，故可知 2³ + α³ + β³ + γ³ + δ³ = 0。二次方的情形亦然。

由此亦可知 f(2) + f(α) + f(β) + f(γ) + f(δ) = 0+0+1+1+1+1+1 = 5。

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以上內容若有誤，敬請不吝指正。

請教證明第1題，感謝。

證明 1. 將垂心記作 H

HDBF 四點共圓 (有兩對角為直角) => ∠HFD = ∠HBD

同理 HEAF 四點共圓 => ∠HFE = ∠HAE

由 CAD、CBE 兩直角三角形有 ∠HBD = 90° - ∠ACB = = ∠HAE

故 ∠HFD = ∠HBD = ∠HAE = ∠HFE，因此 FH 平分 ∠ DFE

同理可得 HD, HE 亦為角平分線，故 H 為三角形 DEF 之內心

感謝。B共圓+A共圓+C角度。相當清楚。