對於任意平行四邊形 \(ABCD\)，
不失一般性，可以將其平移到以 \(A\) 為原點 \(0＋0ｉ\)，
設 \(B＝a＋bｉ\), \(D＝c＋dｉ\)，其中 \(a, b, c, d\) 為實數，
因為 \(ABCD\) 為平行四邊形，則 \(C＝（a＋c）＋（b＋d）ｉ\)，
求證 \(2（AB^2 ＋ AD^2） ＝ AC^2 ＋ BD^2\).
證明：
左式\(＝ 2（AB^2 ＋ AD^2）\)
\(＝ 2\left(｜（a＋bｉ）－（0＋0ｉ）｜^2 ＋ ｜（c＋dｉ）－（0＋0ｉ）｜^2\right)\)
\(＝ 2\left(（a^2＋b^2） ＋ （c^2＋d^2）\right)\)
右式\(＝ AC^2 ＋ BD^2 \)
\(＝ ｜（（a＋c）＋（b＋d）ｉ） － （0＋0ｉ）｜^2 ＋ ｜（a＋bｉ）－（c＋dｉ）｜^2\)
\(＝ \left(（a＋c）^2＋（b＋d）^2\left) ＋ \right(（a－c）^2＋（b－d）^2\right) \)
\(＝2a^2＋2b^2 ＋ 2c^2＋2d^2\)
故，左式＝右式，得證。
