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袋中有各色球若干,取球不放回,求某色球先取完的機率?

本主題由 bugmens 於 2019-8-10 07:54 合併
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問題:
白球\(b\)個,黑球\(c\)個,……,黑球比白球先取完的機率是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)
紅球\(a\)個,白球\(b\)個,黑球\(c\)個,……,為何黑球比白球先取完的機率還是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)?

答:
白球\(b\)個,黑球\(c\)個,黑球比白球先取完(最後一球是白球)的情形有\(\displaystyle \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)種
上面的每一種情形都有\((b+c)\)個球及\((b+c+1)\)個空隙
把\(a\)個紅球插入這\((b+c+1)\)個空隙中有\(\displaystyle H_a^{b+c+1}=C_a^{a+b+c}=\frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\)種情形
故紅球\(a\)個,白球\(b\)個,黑球\(c\)個,黑球比白球先取完的情形數是\(\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)
機率是\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}}{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}=\frac{b}{b+c}\)

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