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機率的題目,利用遞迴數列求機率的題目

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-4-12 11:30 PM 發表
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?
"輪流丟",這三個字好像沒有用到?


當甲有 \(k\) 元時,其獲勝機率 \(a_k\) 恰由下列二者組成,

case i.  若擲出反面(機率是 \(\frac{1}{3}\)),則甲變為 \(k+1\) 元,接下來獲勝機率為  \(a_{k+1}\) 。

case ii.  若擲出正面(機率是 \(\frac{2}{3}\)),則甲變為 \(k-1\) 元,接下來獲勝機率為  \(a_{k-1}\) 。

所以 \(a_k=\frac{1}{3}a_{k+1}+\frac{2}{3}a_{k-1}\)

剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。





題外話:

這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣,

Google 搜尋"隨機過程 醉漢" 或 "Random Walk" 會有些相關的介紹,

其中 http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm 這篇的說明與解法也蠻不錯的。

另外,台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf ),

不過機率改成各 \(\frac{1}{2}\) 而已。




討論串:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950

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