一個學生問的問題，也是
雙週一題96學年度第一學期第三題。
引用:
想請問一題：
x+xy+xyz=12 .................(1)
y+yz+yzx=5 ...................(2)
z+zx+zxy=6 ...................(3)
求解。
(1) 左右同乘 z ，然後左右同加 z
(2) 左右同乘 x ，然後左右同加 x
(3) 左右同乘 y ，然後左右同加 y
可得
\[z+zx+zxy+xyz^2=13z\]
\[x+xy+xyz+yzx^2=6x\]
\[y+yz+yzx+zxy^2=7y\]
亦即
\[(z+zx+zxy)+xyz^2=13z\]
\[(x+xy+xyz)+yzx^2=6x\]
\[(y+yz+yzx)+zxy^2=7y\]
亦即
\[6+xyz^2=13z\]
\[12+yzx^2=6x\]
\[5+zxy^2=7y\]
亦即
\[6=z(13-xyz) .................(4)\]
\[12=x(6-xyz) ...................(5)\]
\[5=y(7-xyz) ...................(6)\]
將 (4),(5),(6) 式相乘，可得
\[360 = xyz(13-xyz)(6-xyz)(7-xyz)\]
令 \(t= xyz\) ，則
\[360 = t(13-t)(6-t)(7-t) ⇒ t(t-13)(t-7)(t-6)+360=0\]
\[⇒ (t^2-13t)(t^2-13t+42)+360=0 ⇒ (t^2-13t)^2 + 42 (t^2-13t)+360=0\]
\[⇒ (t^2-13t-12)(t^2-13t-30)=0 ⇒ (t-12)(t-1)(t-3)(t-10)=0\]
所以 \(t = 12, 1, 3,\) 或 \(10\)
亦即 \(xyz = 12, 1, 3,\) 或 \(10\) ，帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 \(x,y,z\) 的值。
後來，另外一個朋友 keith_291 的提醒：
引用:
作者: keith_291
小小吐槽一下XDDD
其實只有3組解喔
(12/5, 5/6 , 1/2)這組代回去會矛盾
因為他算是增根!
感謝，因為有同乘變數的動作，可能會增根，居然忘了帶入最早的方程式檢查，呵呵
所以實際上只有三組解。
\[(x,y,z) = (-3, -\frac{5}{3}, 2), (-2,-1,6) 或是 (4, \frac{5}{4}, \frac{3}{5})\]
我的解答的 PDF 版本：
https://math.pro/temp/qq53.pdf
雙週一題的官方版解答：
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf
