第 14 題：

設數學分數為 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，物理分數為 \(y_1, y_2, ..., y_n \)，

兩科加總分的分數為 \(z_1, z_2, ..., z_n\)，兩科的相關係數為 \(r\)，

則 \(\displaystyle \mu_x = 60, \mu_y = 70, \sigma_x = 5, \sigma_y = 6, \sigma_z = 9\)，且 \(\mu_z = \mu_x + \mu_y\)

利用 \(\displaystyle z_i^2 = \left(x_i+y_i\right)^2, i =1, 2, 3, ..., n\) ，

得 \(\displaystyle z_1^2+z^2+ ... +z_n^2 = x_1^2 + x^2+ ... + x_n^2 + 2\left(x_1 y_1+x_2 y_2+...+x_n y_n\right)+y_1^2+y_2^2+...+y_n^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\left(\mu_z^2 + \sigma_z^2\right) = n\left(\mu_x^2 + \sigma_x^2\right)+2\left(n\sigma_x\sigma_y r+ n\mu_x \mu_y\right)  +n\left(\mu_y^2 + \sigma_y^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sigma_z^2= \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y r +\sigma_y^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow 9^2= 5^2 + 2\cdot 5 \cdot 6 \cdot r +6^2\)

得 \(\displaystyle r=\frac{1}{3}\) 。

故迴歸直線為 \(\displaystyle y-70 = \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\left(x-60\right)\)


註1： 相關係數 \(\displaystyle r = \frac{x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n - n\mu_x \mu_y}{n\sigma_x\sigma_y}\)

　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n = n\sigma_x\sigma_y r +n\mu_x \mu_y\)

註2：  \(\displaystyle \mu_z = \mu_x + \mu_y\Rightarrow \mu_z^2 = \mu_x^2+2\mu_x\mu_y+\mu_y^2\)

第 8 題：

設 \(A(0+4i), B(3+0i), P(z), C(0+i)\) 皆為複數平面上的點，

\(\displaystyle \left|z\right| = \frac{4}{\left|-1+\sqrt{3}i\right|}=2\) \(\Rightarrow P\) 在「以原點為圓心、以 \(2\) 為半徑」的圓 \(C\) 」上。

又此圓亦是滿足 \(PA:PC = 2:1\) 的阿波羅圓，

所以 \(\displaystyle \frac{1}{2}PA + PB = PC+PB \geq BC = \sqrt{10}\) 。

註： \(A, B\) 都在圓外， \(C\) 在圓內。

第 12 題：

解 \(\displaystyle x = \frac{3}{2x+1}\)，得 \(x=1\) 或 \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}\)

令 \(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}}\)，則

\(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2a_{n-1}+1}-1}{\frac{3}{2a_{n-1}+1}+\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle =\frac{-4a_{n-1}+4}{6a_{n-1}+9} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-\frac{3}{2}} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot b_{n-1}\)

可得 \(<b_n>\) 是一個首項為 \(\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}\)，公比為 \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) 的等比數列，

寫出 \(b_n\) 的一般項，可得 \(a_n\) 的一般項。

第 1 題：

令 \(P(x, y, 0), A(-5, -4, -5), B(3 ,5, 7)\)，則 \(PA+PB\geq AB = 17\)。

第 2 題：

三點共線的情況有 \(12+4 = 16\) 種，

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2024-4-24 12:44

  

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(順時針90度旋轉四次)

四點共線的情況有 \(4\) 種，

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(順時針90度旋轉四次)

五點共線的情況有 \(12\) 種。
(五條水平線、五條鉛直線、兩條對角線)

所求機率＝\(\displaystyle \frac{\left(C^{25}_3-16C^3_3-4C^4_3-12C^5_3\right)\times 3!}{C^{25}_{3}\times 3!}=\frac{537}{575}\) 。

第 11 題：

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2024-4-24 13:03

先求 \(\displaystyle y=-x^2+4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：

\(\displaystyle y'=-2x=-3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)，得切點為 \(\displaystyle (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\)。

\(\Rightarrow k\) 的最大值為  \(\displaystyle 3\times\frac{3}{2}+\frac{7}{4}=\frac{25}{4}\)。

再求 \(x^2+y^2=4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：

\(\displaystyle \left|\frac{3\times 0+1\times 0+k}{\sqrt{3^2+1^2}}\right|=2 \Rightarrow -2\sqrt{10}\leq k\leq 2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow k\) 的最小值為  \(\displaystyle -2\sqrt{10}\)。

第 12 題~~~ 後半段。

由於 \(<b_n>\) 是一個首項為 \(\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}\)，公比為 \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) 的等比數列，

所以 \(\displaystyle b_n = \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)。

又 \(\displaystyle b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + \frac{3}{2}}\Rightarrow a_n = \frac{1+\frac{3}{2} b_n}{1-b_n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_n -1 = \frac{\frac{5}{2} b_n}{1-b_n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}} = \frac{-\frac{15}{14}}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n  = \frac{-\frac{15}{14}}{1-0}=-\frac{15}{14}\) 。

第 7 題：

\(a\geq0, b\geq0, c\geq0\) 且 \(a+b+c = 1\)

\(\Rightarrow 0\leq a\leq1, 0\leq b\le1, 0\leq a+b\leq 1\)

螢幕擷取畫面 2024-04-26 084313.png (10.83 KB)

2024-4-26 08:45

\((a,b)\) 在 \(a\) 軸與 \(b\) 軸所構成的直角坐標平面所圍的面積是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)。

將 \(c = 1-a-b\) 代入題目給的兩個 \(x\) 與 \(y\) 的等式，

得 \(x = -3a -b+4, y=-a-2b+3\)，即

\(\displaystyle \left(\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} a \\ b\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 4 \\ 3\end{matrix}\right)\)

也就是 \((x,y)\) 是由點 \((a,b)\) 做線性變換、再平移而得。

由於平移不影響面積，所以 \((x,y)\) 區域面積為  \(\displaystyle |\left|\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right| |\times \frac{1}{2} =\frac{5}{2}\)

第 16 題：

令 \(F_1(-3+0i), F_2(3+0i), P(z=x+yi), a=5, c=3\)，

\(P\) 點在複數平面上是位在以「\(F_1, F_2\) 為焦點，且半長軸長為 \(a\) 的橢圓上」，

得焦半徑 \(\displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x\) 且 \(\displaystyle PF_2 = a-\frac{c}{a}x\)。

由於 \(A(z_1),B(z_2),C(z_3)\) 到 \(F_1\) 的距離 \(AF_1, AF_2, AF_3\) 成等差，

可得 \(Re(z_1), Re(z_2), Re(z_3)\) 亦成等差， \(\displaystyle Re(z_1+z_3) = Re(z_1)+Re(z_3) = 2 Re(z_2) = \frac{5}{2}\)。

註： 　　以下推一下橢圓的左焦半徑的公式：

　　　　橢圓方程式：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ，其中 \(a^2=c^2+b^2\)。

　　　　令 \(P(x,y)\) 為橢圓上的點且左焦點 \(F_1(-c,0)\)

　　　　則 \(\displaystyle PF_1 = \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \sqrt{\left(x+c\right)^2+b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)} \)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2 +2cx + \left(b^2+c^2\right)}\)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2 +2cx +a^2}\)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\left(\frac{c}{a}x+a\right)^2}\)

　　　　　　　　　又 \(-a\leq x\leq a\)，可知 \(\displaystyle -c\leq\frac{c}{a}x\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}x+a>0\)

　　　　　　　　故 \(\displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x\)