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第10題，沒有其它情況了
令 \( b_n = \frac{1}{a_n} \)，則 \( b_{n}=2b_{n-1}-b_{n-2} \)
利用矩陣(或其它法方) 推出 \( b_n \) 的一般式
令 \( A = \begin{bmatrix}2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} \)，則 \( \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}b_{n+1}\\
b_{n}
\end{bmatrix} \)，\( \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A^{n}\begin{bmatrix}b_{2}\\
b_{1}
\end{bmatrix} \)
而 \( A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)，且有 \( \begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix} \) 及 \( \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \)
故由二項式定理得 \( A^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n+1 & -n\\
n & 1-n
\end{bmatrix} \)
因此 \( b_{n+1} = b_{1}+n(b_{2}-b_{1}) \)
而有 \( a_{n+1} = \frac{1}{ b_{1}+n(b_{2}-b_{1})} \)
當 \( a_1 \neq a_2 \) 時，\( b_1 \neq b_2 \)，
\( n \) 夠大時，\( a_n \approx 0 \)，但 \( a_n \) 又不為 0，
故 \( n \) 夠大時，\( a_n \) 皆不為整數。
當 \( a_1 = a_2 \) 時，\( b_1 = b_2 \)，\( a_n =a_1 \)。
故符合無限多項為整數的情形只在 \( a_1 = a_2 \) 且 \( a_1 \) 為整數發生。
[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-4-27 08:02 編輯 ]
