5.
有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\)、\(\overline{CF}=40\)、\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC =10}\)。將平面\(BCFE\)置於水平桌面上，且將與\(BCFE\)平行的平面稱為水平面。試回答下列問題。
(1)若水平面\(W\)介於\(A\)，\(P\)之間且與\(A\)的距離為\(x\)，試以\(x\)表示\(W\)與此積木所截的矩形區域之面積
(提示：令\(Q\)為\(\overline{FC}\)上一點，滿足\(\overline{AQ}\)與\(\overline{DF}\)平行，利用\(\Delta ABC\)、\(\Delta ACQ\)為全等三角形去解)
(2)將線\(\overline{AP}\)的\(n\)等分點沿著向量\(\vec{AP}\)的方向依序設為\(A＝P_0\)，\(P_1\)，\(\ldots \ldots\)，\(P_{n-1}\)，\(P_n=P\)。在每一個分段\(\overline{P_{k-1}P_k}\)，考慮以通過\(P_k\)的水平面與此積木所截的矩形為底、\(\overline{P_{k-1}P_k}\)為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(無需化簡)。
(3)以定積分形式表示此積木的體積。
(4)以定積分求出此積木的體積之值。
111分科測驗數學甲
