計算2.
設\(x\)為有理數，將\((x+1)(x-2)\)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為\(1+5x\) ，則\(x\)的值為多少？
[解答]
假設\(\displaystyle x=\frac{m}{5},m\in \mathbb{Z}\)
則原數為\(\displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)\)，四捨五入後的數字為\(\displaystyle 1+m\)

可知\(\left\{
\begin{array}{LL}
m+\frac{1}{2}\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+1 \\
or \\
m+1\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+\frac{3}{2}
\end{array}
\right.
\)

若是\(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+1\)
整理化簡後可得 \(\displaystyle 62.5\leq m^2-30m<75\)
\(\displaystyle m^2-30m=63,64,\cdots ,73,74\)，利用同餘篩選並檢驗發現只有64符合題意
解得\(m=32\)或是\(m=-2\)，對應到\(\displaystyle x=\frac{32}{5},x=\frac{-2}{5}\)

若是\(\displaystyle m+1\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+\frac{3}{2}\)
整理化簡後可得 \(\displaystyle 75\leq m^2-30m<87.5\)
\(\displaystyle m^2-30m=75,76,\cdots ,86,87\)，利用同餘篩選並檢驗發現沒有整數解
故綜合以上，\(\displaystyle x=\frac{32}{5},x=\frac{-2}{5}\)

計算4.
\(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由\(A\)點可跳到\(O\)、\(B\)、\(D\)中的任何一點，由\(O\)點可跳到\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始，經 \(n\)次跳動返回\(O\)點的路線有\(a_n\)種，而經\(n\)次跳動到達\(A\)點的路線有\(b_n\)種。
(1) 試求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：\(a_n=2^nF_{n-1}\)，其中\(\langle\;F_n\rangle\;\)為費氏(Fibonacci)數列
[解答]
(1)
\(\left\{
\begin{array}{LL}
a_n=4b_{n-1}\\
b_n=2b_{n-1}+a_{n-1}
\end{array}
\right.
\)

化簡後得到\(\displaystyle a_{n+1}=4a_{n-1}+2a_n ,n\geq 2\)

(2)
\(\displaystyle  a_1=0,a_2=4\)
解得

\(\displaystyle \begin{align*}
a_n &=\frac{2}{\sqrt{5}}(1+\sqrt{5})^{n-1}-\frac{2}{\sqrt{5}}(1-\sqrt{5})^{n-1}\\
         &=\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\
         &=2^n[\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}]\\
         &=2^n\times F_{n-1}
\end{align*}
\)

PS.\(\displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\)