一、填充題
1.
設\(P\)為正方形\(ABCD\)的內部一點，其中\(\overline{AP}=3\sqrt{2},\overline{BP}=3,\overline{CP}=6\)，則正方形\(ABCD\)的面積為
。
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)
2.
\(A\)箱中有1黑1白球，\(B\)箱中有1白球；每次先由甲自\(A\)箱隨機取一球放入\(B\)箱中，再由乙自\(B\)箱隨機取一球放入\(A\)箱，這樣稱為一局，以\(P_n\)表示第\(n\)局結束時，\(A\)箱中恰一黑一白球的機率，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}P_n=\)
。
連結有解答，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=11#pid22298
4.
半圓\(O\)的半徑為1，\(A\)為直徑延長線上一點，\(\overline{OA}=2\)，\(B\)為半圓上任一點，以\(\overline{AB}\)為一邊做正三角形\(ABC\)，求四邊形\(OACB\)面積的最大值。
我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779
7.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。
(110台北市高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22923)
8.
若\(\left[\matrix{1&3\cr 0&2}\right]^n=\left[\matrix{a_n&b_n\cr c_n&d_n}\right]\)，其中\(n\)為正整數，則\(\displaystyle \frac{b_{20}}{b_{10}}\)之值為
。
我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875
9.
求\(2022^{111}\)末兩位數是多少？
10.
已知\(a,b\)為正整數，設函數\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{2x^{2n+1}+ax^2+bx-1}{2x^{2n}+3}\)，若\(\forall x\in R\) \(f(x)\)為連續函數，則序對\((a,b)=\)
。
\( f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}}\)，若\(f(x)\)在實數域上是連續函數，則\((a,b)\)為多少？
(107文華高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2949&page=5#pid18510)
二、計算與說明題
2.
設\(x\)為有理數，將\((x+1)(x-2)\)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為\(1+5x\) ，則\(x\)的值為多少？
設\(x\)為實數，將正數\(7x-6\)小數點後第一位四捨五入，得整數\(4x+1\)，試求\(x\)之值。
(104興大附中數理資優班，
https://math.pro/db/thread-2841-1-1.html)
4.
\(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由\(A\)點可跳到\(O\)、\(B\)、\(D\)中的任何一點，由\(O\)點可跳到\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始，經 \(n\)次跳動返回\(O\)點的路線有\(a_n\)種，而經\(n\)次跳動到達\(A\)點的路線有\(b_n\)種。
(1) 試求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：\(a_n=2^nF_{n-1}\)，其中\(\langle\;F_n\rangle\;\)為費氏(Fibonacci)數列
