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1. 面積的部分：可以構造另一個簡單坐標的四面體，再縮放
某正四面體的頂點坐標 \( A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1) \)，邊長為 \( \sqrt{2} \)
G 在 AD 上，且 \( AG:GD = 1:2 \)，G的坐標為 \( (1,\frac13,\frac13) \)
H 為 AC 中點，H 的坐標為 \( (\frac12,0,\frac12) \)
透過外積，可計算得三角形 BGH 的面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{6} \)
若伸縮成邊長為 \( a \) 的正四面體積時，面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{12} a^2 \)
2. 令 \( M, N \) 分別為 AD, BC 中點，將AD沿著 \( \vec{MN} \) 平移得 A'D'
此時，A'D' 和 BC 互相垂直平分
令 \( \vec{n} \) 平面 \( E_1 \) 的一個法向量，\( \theta \) 為 \( \vec{AD} \) 和 \( \vec{n} \) 的夾角。
由四個平面得距離關係可得 \( \sin \theta = 3 |\cos \theta| \Rightarrow \sin \theta = \frac 3{\sqrt{10}} \)
而 \( E_1, E_4 \) 的距離為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \)，故此四面積體的邊長為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \cdot \frac 1{\sin \theta} = \frac1{\sqrt{5}} \)
綜合以上，所求 \( =\frac{\sqrt{5}}{60} \)
