想請教第8題
有四個平行平面：\(E_1\)：\(3x+4y+5z=0\)、\(E_2\)：\(3x+4y+5z=1\)、\(E_3\)：\(3x+4y+5z=2\)及\(E_4\)：\(3x+4y+5z=3\)，若一正四面體的四頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分別在\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)及\(E_4\)，則此正四面體和\(E_2\)相交的截面積為　　　平方單位。
[解答]

我的做法如圖，所求的區域即是三角形BGH，而從題目給的條件可以知道

\(\displaystyle\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)

從這個去推在正四面體邊長為a的情況下，三角形BGH的面積

然後再由此可得到四面體A-BGH的體積，即是正四面體ABCD體積的六分之一。

而四面體A-BGH的體積又可以寫成

\(\frac{1}{3}三角形BGH面積× E_1和E_2的距離\)

藉著這個關係，就可以回推a是多少，從而得到所求三角形BGH的面積
　
但我覺得寫起來好累......，想要問各位老師是怎麼處理這一題的？
謝謝

引用:

原帖由 tsusy 於 2023-5-3 09:39 發表
1. 面積的部分：可以構造另一個簡單坐標的四面體，再縮放
某正四面體的頂點坐標 \( A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1) \)，邊長為 \( \sqrt{2} \)
G 在 AD 上，且  \( AG:GD = 1:2 \)，G的坐標為 \( (1,\frac13,\frac13) ...

感謝寸絲老師!

做的時候還真的沒有想到可以先構造一個好座標化的四面體，
害我用外積求面積的時候，化簡不出來，只好另許他法處理面積。