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112桃園聯招

回覆 6# 5pn3gp6 的帖子

填充 12. 花了不少時間,想了一個可能比較好算的作法,但考試時好像沒這麼多時間想

我們先將這樣的正整數補齊四位,如 0024,此時將千位數定為 0、百位數定為 0。
「6的倍數,且每個位數和也是6的倍數」等價於「個位數為偶數,且每個位數和也是6的倍數」

(1) 考慮千位數為 2 的情況,6的倍數有 2004, 2010, 2016, 2022,其中 2004, 2022 兩者符合題意。

(2) 考慮千位數為 0,1,個位數為偶數的情況:
將百位數 b 與十位數 c 之和,模 6 進行分類
當 b=4,5,..,9, c =0,1,2,...9,各同餘類均出現 10 次。
當 b=0,1,2,3, c =4,5,..,9,各同餘類均出現 4 次。
當 b=0,1,2,3, c =0,1,2,3, \( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘,分別出現 2,2,3,4,3,2 次

故百位數 b 與十位數 c 之和,模 6 的可能:
\( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘,分別出現 16,16,17,18,17,16 次

因個位數為偶數,故 \( b+c \) 為奇數時必須搭配千位數 1, \( b+c \) 為偶數時必須搭配千位數 0
將千位數記為 a, 故 \( a+b+c \) 模 6 與 0,2,4 同餘,分別出現 32,33,35, 次

\( a+b+c \equiv 0 \) (mod 6) 時,個位數為 0 或 6
\( a+b+c \equiv 2 \) (mod 6) 時,個位數為 4
\( a+b+c \equiv 4 \) (mod 6) 時,個位數為 2 或 8
其中 0000 非正整數。

綜合以上,所求 \( = 2 + 32 \cdot 2 + 33 + 35 \cdot 2 -1 = 168 \)
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回覆 13# 5pn3gp6 的帖子

第12題,我一開做的時候,基本上和鋼琴老師的過程一樣
但想到先前提問時,說分了 31 組,我就不想繼續分類。
然後花了一些時間,才有反過來,用 \( b+c \) 來分類的作法

再看一下,重新改寫成生成函數的寫法

將四位數 abcd 與 \( x^a \cdot x^b \cdot x^c \cdot x^d \) 的形式對應

因此小於 2000的非負整數情況,可以用生成函數
\( f(x) = (1+x)(1+x+^2+\ldots+x^9)(1+x+x^2+\ldots+x^9)(1+x^2+x^4+x^6+x^8) \)
的展開式中,係數表示 \( a+b+c+d \) 之和為冪次的情況數

\( f(x) = (1+x+^2+\ldots+x^9)^3 \)
令 \( \omega = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \)
則所求為 \( \displaystyle \frac16 \left( f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) + f(\omega^3) + f(\omega^4) + f(\omega^5) \right) -1 +2 \)
其中,減 1 為 0000 不合,加 2 為 2004、2022

所求 \( = \displaystyle \frac16 \left( 10^3 + (\omega+\omega^2)^3 + 1^3 + 0 + 1^3 + (\omega^4+\omega^5)^3 \right) + 1\)
\( = \displaystyle \frac16 \left( 1000 + 1 + 1 \right) + 1 = 168\)
其中 \( \omega^4+\omega^5 = -(\omega+\omega^2) \),因此 \( (\omega^4+\omega^5)^3 + (\omega+\omega^2)^3 =0 \)
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