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第 2 部份
第 2 題
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\angle A=40^{\circ}\)，且\(P\)為\(\overline{AB}\)邊上的一點使得\(\angle APC=120^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\) 。
[解答]
令 BC = 1，所求為 AP
∠A = 40 度，∠B = 70 度，∠BPC = 60 度，∠ACP = 20 度
以下度省略
PC / sin70 = 1 / sin60
PC / sin40 = AP / sin20
AP * sin40 / sin20 = sin70 / sin60
AP = (sin70 * sin20) / (sin40 * sin60) = (cos20 * sin20) / (2sin20cos20 * sin60) = √3 / 3
第 5 題
已知三角形三個高分別為\(\sqrt{7}\)、\(\sqrt{5}\)、\(h\)，若\(h\)的範圍為\(a<h<b\)，則\(a+b=\) 。
[解答]
設三邊分別為 x，y，z
√7x = √5y = hz
x：y：z = 1/√7：1/√5：1/h
1/√5 - 1/√7 ＜ 1/h ＜ 1/√5 + 1/√7
1 / (1/√5 + 1/√7) ＜ h ＜ 1 / (1/√5 - 1/√7)
(7√5 - 5√7) / 2 ＜ h ＜ (7√5 + 5√7) / 2
a + b = 7√5
第 7 題
兩圓分別為\(C_1\)：\(x^2+y^2=25\)與\(C_2\)：\((x-10)^2+y^2=4\)，已知此二圓有四條公切線，其中兩條之斜率為正，且其交角為\(\theta\)，則\(sin\theta\)之值為 。
[解答]
設公切線為 y = ax + b，其中 a ＞ 0，b ＜ 0
| b | / √(a^2 + 1) = 5，| 10a + b | / √(a^2 + 1) = 2
解以下方程
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，(10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，- (10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
可得兩公切線為 y = (7/√51)x - (50/√51) 和 y = (3/√91)x - (50/√91)
tanθ = (7/√51 - 3/√91) / [ 1 + (7/√51)(3/√91)] = (7√91 - 3√51) / (√51 * √91 + 21)
sinθ = (7√91 - 3√51) / 100
