第二部分填充3.
疫情影響，學校教職員分流上班(部分教職員居家辦公，部分到校辦公)，考慮一周五個工作天，若學校希望教務主任及2位組長，3人每天至少有2人到校辦公，每人當周最多3 天居家辦公(其中最多連續 2 天)，則 3 人的居家辦公安排方式共　　　種。
[解答]
先考慮每天至少2人到校辦公，居家辦公的人選為3人其中之一或無人居家
故有 \( 4^5 = 1024 \) 種

其中會有不符合題意的情況：有人居家辦公 4 天、5天或連續居家辦公 3天
示意如 AAAAX, AAAAA, AAAXX,...
說明AAAAX 表示 A 連續四天居家辦公，第五天X為非A或沒人居家辦公

因此不合的有 \( (C^5_4 \times 3 + C^5_5 + 3 \times 3^2) \times 3 = 129\)
故所求 \( =1024 - 129 = 895 \)

計算 2.
已知對於每一個正整數\(n\)，有\(a_n>0\)且\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^3=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2\)，試證：\(a_n=n\)。
[解答]
以數學歸納法證明 \( a_n = n \) 均成立。
當 \( n=1 \) 時，易得  \( a_1 = 1 \)

假設 \( n \le k \) 時，\( a_n = n \) 均成立，其中 \( k \) 為某正整數

將左式記作 \( L_n \), 右式記作 \( R_n \)

則當 \( n = k+1 \)  時
\( L_{k+1} - L_{k} = R_{k+1} - R_{k} \)
\( \Rightarrow a_{k+1}^3 = a_{k+1} (a_{k+1} + n(n+1)) \)
\( \Rightarrow a_{k+1}(a_{k+1} - k-1)(a_{k+1}+k) = 0 \)
因 \( a_{k+1} > 0 \)，故 \( a_{k+1} = k+1 \)

由數學歸納法得，\( a_n = n \) 對所有正整數 \( n \) 均成立

第二部分，第 8 題，這裡我覺得有趣的地方是
甲三回合獲勝、二回合獲勝、一回合獲勝、零回點獲勝的情況數是一樣多的
也就全部情況數四分之一，即 \( C^9_3C^6_3\cdot \frac14 = 420\)

第二部分，第6題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
[解答]
先將三角形切成三個部分，再利用共用底邊、共用高或共用頂角的方式及線段長比，計算面積比

\( \triangle OMN+\triangle ONP+\triangle OPM \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{3}\triangle PBD+\frac{1}{6}\triangle PCA \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{6}\triangle CBD+\frac{1}{12}\triangle DCA \)
\( =\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{3}+\frac{1}{6}\cdot6\sqrt{3}+\frac{1}{12}\cdot3\sqrt{3}=\frac{7}{4}\sqrt{3} \)

角度到處都是 60°, 120°，國中生畫個高，也是可以算

樓樓上坐標、向量做起來超快