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111新北市高中聯招

引用:
原帖由 leilei 於 2022-5-8 12:46 發表
版上的老師們好,想問填充的6、7題
謝謝解惑!
第6題,可以看成成宇集\(U=\{1,2,3,4\}\),而\(A,B,C⊆U\),且兩兩交集非空。
於是將\(A,B,C\)與\(U\)彼此的關係畫成文氏圖,即可看成將\(1,2,3,4\)填入此文氏圖的8個區域內,然後兩兩交集的地方都要非空。
可以慢慢討論。比較快一點的話就利用排容原理 \(8^4-3\times6^4+3\times5^4-4^4=1827\)

第7題,先單看其中一個點數\((1-(5/6)^{10})\),再乘以\(6\)即可。
嚴僅一點就是設\(X_k\)為點數\(k\)出現與否的隨機變數,\(k=1,\dots,6\)。
則\(E(X_k)=(1-(5/6)^{10})\),然後所求\(E(X)=E(X_1)+\cdots+E(X_6)=6(1-(5/6)^{10})\)。

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引用:
原帖由 HLX 於 2022-5-8 18:05 發表
想問填充第三題,謝謝
用partial fraction
\(=\sum\frac4{n^2(n+1)^2}=\sum4\left(\frac1{n^2}+\frac1{(n+1)^2}+\frac2{n+1}-\frac2n\right)\)
\(=4\left(\frac{\pi^2}6+\left(\frac{\pi^2}6-1\right)-\frac21\right)=\frac{4\pi^2}3-12\)

中間的等號,是因為題目給了該級數和收斂,跟後面telescope收斂。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-8 19:27 編輯 ]

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引用:
原帖由 PDEMAN 於 2022-5-8 11:53 發表
填充4 另解
\(f(15)=-15,f(22)=-23,f(29)=-31,f(36)=t\)
四點用插值,可寫出
\(f(x)=-15c^{x}_{0}-\frac{8c^{x}_{1}}{7}+\frac{0c^{x}_{2}}{7^2}+\frac{(t+39)c^{x}_{3}}{7^3}\)
最後因為首項係數為1
所以\(\frac{(t+3 ...
令\(g(n)=f(7n+8)\)
則變成解\(g(1)=-15, g(2)=-23, g(3)=-31\)且\(g(x)\)領導係數為\(7^3=343\),然後求\(g(4)\)(其實也可以不做這個動作,直接算\(f\),只是數字大了點)
而\(x\)成等差的時候\(y\)也成等差,所以\(x=2\)時是三次多項式的中心,令\(g(x)=343(x-2)^3+a(x-2)-23\)
因為\(g(1)=-15\),解得\(a=-351\),所以\(g(x)=343(x-2)^3-351(x-2)-23\),因此\(g(4)=343\times8-351\times2-23=2019\)。

出題老師應該是直接抄2019年某個地方的題目,連改都沒改。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:20 編輯 ]

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引用:
原帖由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:38 發表
第10題
令\(A-B=\alpha\),\(B-C=\beta\),則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時,\(\alpha=\beta\)且 ...
這樣不完整吧,須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式,都可以直接猜平均或極端的情況,大概九成都會對。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:43 編輯 ]

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引用:
原帖由 dorara501 於 2022-5-9 17:57 發表
您好,想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!!
擲了10顆骰子,
若全都是3點,那就是只有一種點數。
若是1122555566,就是四種點數。
若1111122333,就是三種點數。

題意就是問,擲了十顆骰子,期望會出現幾種點數。
正常算是利用1*只出現一種點數的機率,所以是\(1\times\frac{6}{6^{10}}\)
再加上2*恰出現兩種點數的機率,所以是\(2\times\frac{C^6_2(2^{10}-C^2_11^{10})}{6^{10}}\)。
加上3*恰出現三種點數的機率,…直到6,這樣算也可以,比較煩一點。
通常都是利用期望值的性質來算比較快,這招一定要會的,教甄很常很常用這招。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-10 13:10 編輯 ]

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第4題,跟別位教授討論之後,發現有更簡單的算法。
由題意知\(f(7n+8)+8n+7=7^3(n-1)(n-2)(n-3)\)
所以\(4\)代入就是答案了。

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