填充4，由內角和相等可知內角均為 120°
過頂點做與邊之平行線(沒有限定哪在哪裡做)

會將圖形線切成正三角形、平行四邊形，即可得

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2022-4-26 10:49

\( \overline{FA} = 4 +4 = 8\)
\( \overline{EF} = 2 \)
故所求
\( \overline{FA} + \overline{EF} = 10 \)

填充6. 我們可以知道此二平行面的距離為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)

接著需要知道正八面體邊長和此平行面距離的比例

幾何作法：取M 為BC 中點，N 為DE 中，三角形ANM中 AM 邊上的高即為兩平行面的距離(修正筆誤AM邊上的高)

坐標：重新另做一個正八面體，頂點坐標為 \( (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a) \)，其中 \( \sqrt{2} a \) 為正八面體的邊長
可計算得二平行面得距離為 \( \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} a\)

故可題，此題中邊長為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)

此正八面體的體積為 \( 2 \times \frac13 \times (3 \sqrt{2})^2 \times 3 = 36 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2022-4-28 09:49 編輯 ]

填充 10. 沒有什麼好想法，暫時分三種狀態，用轉移矩陣硬算
狀態1：ABC 各1 人
狀態2：ABC 人數 2,1,0(未依序)
狀態3：ABC 人數 3,0,0(未依序)

認真算一下機率，轉移矩陣寫下來是
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix}^5\:\begin{pmatrix}1\\ \:\:0\\ \:\:0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1823}{8192}\\ \frac{10923}{16384}\\ \frac{1815}{16384}\end{pmatrix}\)

故所求 = \( \frac{1815}{16384} \)