填充8
已知數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_{n+3}=5a_{n+2}-7a_{n+1}+3a_n(\forall n \ge 1)\)，求\(a_{50}\)為幾位數　　　。
[解答]

填13.
三角形\(ABC\)中，三線段\(\overline{AD}\)、\(\overline{BE}\)、\(\overline{CF}\)有一個共同交點\(O\)，若\(\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OF}=4\)且\(\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=37\)，請求出\(\overline{OA}\times \overline{OB}\times \overline{OC}\)之值　　　。
[解答]

填13
三角形\(ABC\)中，三線段\(\overline{AD}\)、\(\overline{BE}\)、\(\overline{CF}\)有一個共同交點\(O\)，若\(\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OF}=4\)且\(\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=37\)，請求出\(\overline{OA}\times \overline{OB}\times \overline{OC}\)之值　　　。
[解答]
依面積特性可知OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
依題意知OD=OE=OF=4 ,令x=AO,y=BO,z=CO
得1/(x+4) +1/(y+4)+1/(z+4)=1/4------(1)
且依題意知AO+BO+CO=x+y+z=37-------(2)
令X=x+4,Y=y+4,Z=z+4-------(3)
由(2)&(3)得 X+Y+Z=37+12=49------(4)
由(1)&(3)得4(XY+YZ+ZX)=XYZ
假設a=XY+YZ+ZX,則XYZ=4a--------(5)
由(4)&(5)可設t=X,Y,Z為t^3-49t²+at-4a=0的解
又t^3-49t²+at-4a=(t-X)(t-Y)(t-Z)--------(6)
將t=4代入(6)得4^3-49*16+4a-4a= -(X-4)(Y-4)(Z-4) = -xyz= -720
所求=AO*BO*CO=xyz=720

想請問一下9、10題，謝謝

第 9 題
假設小明每天記錄天氣情況，若沒下雨則記為\(S\)，下雨則記為\(R\)。如果某幾天紀錄為\(SS\underline{R}SSS\underline{RRR}SS\underline{R}SSS\)，則連續下雨天的次數為3，此時我們記為\(r=3\)。請注意，即使兩天沒下雨只夾一天下雨，那個下雨天也視為1次連續下雨。若二月份中，有16天下雨且12天沒下雨，求\(r=5\)時所有可能排列個數　　　。
[解答]
設第 m 次連續下雨的天數為 a_m (1 ≦ a_m ≦ 12，m = 1 ~ 5)
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 16 的正整數解
即 b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 11 的非負整數解 (0 ≦ b_m ≦ 11，m = 1 ~ 5)
有 H(5，11) 組

5 次連續下雨之間有 4 次未連續下雨
第一次連續下雨之前，和第五次連續下雨之後，也可能未連續下雨
設第 n 次連續未下雨的天數為 c_n (1 ≦ c_m ≦ 9，m = 2 ~ 5，0 ≦ c_m ≦ 8，m = 1、6)
c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6 = 12
即 d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 = 8 的非負整數解 (0 ≦ d_m ≦ 8，m = 1 ~ 6)
有 H(6，8) 組

所求 = H(5，11) * H(6，8)

引用:

原帖由 Joanna 於 2022-4-29 13:43 發表
想請問一下9、10題，謝謝

#10
設\(\sqrt{-1}=i\)且複數\(z\)和\(w\)滿足\(|\;z|\;=3\)及等式\(\displaystyle zw+\frac{1}{2}wi=3i-\frac{1}{2}\overline{w}i+z\)，其中\(\overline{w}\)為\(w\)的共軛複數。令\(\left| w-\frac{1}{2} \right|\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，求數對\((M,m)=\)　　　。
[解答]
z*w+(1/2)w*i=3i-(1/2)ŵ*i +z    (ŵ表示w bar)
z(w-1)=i [ 3-1/2(ŵ+w) ]    (令w=x+y*i)
3* √[(x-1)² +y²] = |3- x|
整理得(x-3/4)² / (9/16) + y² /(1/2)=1
w所形成圖形為一個橢圓Γ,中心(3/4,0)
令a² =9/16 ,b²=1/2 ,c² =a²-b²=9/16-1/2 =1/16
a=3/4 ,c=1/4,所以Γ的其中一個焦點為F1(3/4-1/4,0)=(1/2,0)
則所求|w-1/2|的
最大值M=a+c=3/4+1/4=1
最小值m=a-c=3/4-1/4=1/2
數對(M,m)=(1,1/2)

請教第11題

求雙曲線\(-x^2+y^2=1\)及兩直線\(x=1\)、\(x=\sqrt{3}\)所圍封閉區域面積　　　。
[解答]
\(\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec^3\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec\theta d(\tan{\theta})\)
\(\displaystyle =\sec{\theta}\tan{\theta}-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec{\theta}\tan^2{\theta}d\theta\)
\(\displaystyle =\sec{\theta}\tan{\theta}-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\sec\theta(\sec^2\theta-1)d\theta\)
\(\displaystyle \Rightarrow\int\sec^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta +\int sec\theta d\theta+C)\)
(\(\displaystyle \int sec\theta d\theta=\int \sec\theta \frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec\theta+\tan\theta}d\theta=\int \frac{1}{\sec\theta+\tan\theta} d(\sec\theta+\tan\theta)=\ln |\sec\theta+\tan\theta|+c\))
最後代入上下限\(\times 2\)

感謝鋼琴老師

您解題的速度實在太快了，小弟望塵莫及