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111中科實中

回覆 9# cyxhola 的帖子

填充第 8 題
坐標平面上有一三角形\(ABC\),直線\(AB\)所在的方程式為\(2x-y+2=0\),直線\(AC\)所在的方程式為\(2x+y-6=0\),若\(\Delta ABC\)的外心為\(O(0,-3)\),且點\(O\)關於\(\overline{AB}\)的對稱點為\(D\),點\(O\)關於\(\overline{BC}\)的對稱點為\(E\),點\(O\)關於\(\overline{AC}\)的對稱點為\(F\),則\(\overline{EF}\)長度為   
[提示]
求出 A 點和 B 點的座標
設 AC 中點 M,BC 中點 N
易知 EF = 2MN = AB

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回覆 9# cyxhola 的帖子

第 9 題
設\(i=\sqrt{-1}\),複數\(\displaystyle z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{10}\),若\(\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}|\;z^{k+1}-z^k|\;<10^{-20}\),則最小自然數\(n=\)   
[解答]
Σ|z_(k+1) – z_k|
= Σ|z|^k * |z – 1|
= Σ(3/5)^k * (7/5)
= (5/2)(3/5)^n * (7/5)

(3/5)^n * (7/2) < 10^(-20)
剩下的就簡單了

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回覆 13# enlighten0626 的帖子

計算2 (1)
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)為二次實係數多項式,若\(\alpha,\beta\)為\(f(x)=0\)之二實根,且\(\alpha<\beta\)。
而\(g(x)\)領導係數為\(-1\)的三次實係數多項式,且\(g'(\alpha)=g'(\beta)=0\),則:
(1)若函數\(y=f(x)\)在\(x=2\)有極值為\(-9\),且\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域面積為36,試求二次函數\(f(x)\)。
(2)承(1),若函數\(y=g(x)\)的圖形通過坐標原點,且函數\(y=g(x)\)在區間\([-1,0]\)與\(x\)軸圍成的圖形為\(R\)。若將\(R\)繞\(x\)軸旋轉一圈,試求所得到的旋轉體體積。
[解答]
令 f(x) = a(x - 2)^2 - 9 = ax^2 - 4ax + (4a - 9)
令 f(x) = 0 之兩根為 2 - k 和 2 + k
(2 - k)(2 + k) = (4a - 9)/a
ak^2 = 9

∫[ax^2 - 4ax + (4a - 9)]dx (從 2 - k 積到 2 + k) = -36
(2/3)ak^3 - 18k = -36
6k - 18k = -36
k = 3
a = 1

所求 f(x) = x^2 - 4x - 5

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回覆 13# enlighten0626 的帖子

第 16 題
設\(A(-1,1,3)\)、\(B(1,2,3)\)、\(C(2,0,4)\)、\(D(1,1,1)\),若平面\(E\)包含\(\overline{AB}\),且將四面體\(ABCD\)切成兩部分,當平面\(E\)與四面體所截出的截面\(PAB\)的面積有最小值,點\(P\)的坐標為   
[解答]
截面積最小,表示 CD 上的點 P 到 AB 的距離最小
設 PQ 垂直 AB 於 Q
P(2 + t,-t,4 + 3t)、Q(1 + 2s,2 + s,3)
PQ^2 = (t - 2s + 1)^2 + (-t - s - 2)^2 + (3t + 1)^2
= 11t^2 - 2st + 5s^2 + 12t + 6
= 5(s - t/5)^2 + (54/5)(t + 5/9)^2 + 8/3
t = -5/9,s = -1/9 時,PQ 有最小值
此時 P(13/9,5/9,7/3)

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