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111竹北高中

6.
若對所有\(\theta \in R\),複數\(z=(a+cos\theta)+(2a-sin\theta)i\)的絕對值不超過2,則實數\(a\)的範圍為   
[解答]
這題小弟認了 場外重算好多次才算出 考場更不可能了

易知 \(\displaystyle 5a^2+2a(cos\theta -2sin \theta)-3\leq0\)

整理可得\(\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a}\)

注意\(\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a}\)嚴格遞減

(1)如果 \(\displaystyle a\geq 0\)的情形,對於\(\displaystyle \theta \in \mathbb{R}\)

\(\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a}\) 恆成立
即\(\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a} \geq \sqrt{5} \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}\)

(2)討論\(a\leq0\)的情形

可得\(\displaystyle a \geq \frac{-1}{\sqrt{5}}\) 或是 \(\displaystyle a\leq \frac{-3}{\sqrt{5}}\)

綜合(1)(2) 得到\(\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}\)

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