填充10.
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：
(以區間記號表達)。
[解答]
101建國中學二招
https://math.pro/db/thread-1457-1-3.html
由第一式得\(3a+b\ge5c,a+b\le4c\)，第二式得\(c(\ln b-\ln c)\ge a\)
令\(x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\)，\(3x+y\ge5,x+y\le4\)，\(\ln y\ge x\)，\(y\ge e^x\)
所求即\((0,0),(x,y)\)的斜率範圍，令\(y=e^x\)上過原點的切線方程式為\(y-y_0=e^{x_0}(x-x_0)\)
代入\((0,0)\)解得\(y_0=e^{x_0}x_0\)，\(e^{x_0}=e^{x_0}x_0\)，\(x_0=1\)，故\(m=e\)
畫圖即可得所求為\(e\le\frac{b}{a}\le7\)
