第 4 題
甲乙兩人比賽桌球，約定比賽進行到有一人比另一人多贏2局，或者打滿6局時比賽結束。設甲在每局中獲勝的機率均為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負互不影響。則比賽結束時，已賽局數\(X\)的期望值\(E(X)=\)　　　。
[解答]
有一人比另一人多贏 2 局，表示比賽結束時，只可能比了 2 或 4 或 6 局

(1) 比 2 局結束
機率 = (3/4)^2 + (1/4)^2 = 10/16

(2) 比 4 局結束
前 4 局贏的順序如下
甲乙甲甲
甲乙乙乙
乙甲甲甲
乙甲乙乙
機率 = (3/4)^3 * (1/4) * 2 + (1/4)^3 * (3/4) * 2 = 60/256

(3) 比 6 局結束
前 4 局贏的順序如下，這些情況都要比到六場
甲乙甲乙
甲乙乙甲
乙甲甲乙
乙甲乙甲
機率 = (3/4)^2 * (1/4)^2 * 4 = 36/256

所求 = (10/16) * 2 + (60/256) * 4 + (36/256) * 6 = 97/32

第 10 題
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：　　　(以區間記號表達)。
[解答]
十年前寫過，......

第 1 題
把 y = |x^2/2 - 1| 的圖形畫出來
若圓 x^2 + (y - a)^2 = r^2 要與它恰交於 3 三點
則其中一點必是 (0，1)
代入可得 (1 - a)^2 = r^2
x^2 = (1 - a)^2 - (y - a)^2

y = x^2/2 -1
x^2 = 2y + 2

y 的方程式 (1 - a)^2 - (y - a)^2 = 2y + 2 恰有一解
利用判別式，可得 a = 4

偏微做出來也是這個答案

對