7.
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\)？
[提示]
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{2022}(-1)^n\left(\frac{n}{(n-1)!}+\frac{n+1}{n!}\right)\)
Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994，
https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)
試求出下列級數之值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)
(110高中數學能力競賽第五區筆試二，
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
9.
有一矩形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，將矩形沿\(\overline{BD}\)折起，使平面\(ABD\)與平面\(CBD\)的夾角為\(120^{\circ}\)，試求\(\overline{AC}=\)？
其他相關題目，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid846
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為
(以\(\theta\)表示)。
(110台中一中，
https://math.pro/db/thread-3506-3-1.html)
12.
設相異三平面\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
請證明：\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748
