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成大7.
某扭蛋機裡面包含3種不同款式之扭蛋無限個。假設每投幣10元會掉下一顆扭蛋而獲得任一款式的機率均為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。假設每次投幣所獲得的扭蛋款式不受其他次投幣結果影響。試求
(a)集滿3種不同款式扭蛋所需投幣次數小於等於5的機率。
(b)要集滿3種不同款式之扭蛋所需花費之期望值(提示：定義\(a_k\)為已收集到\(k\)種不同款式的扭蛋情況下要達成目標所需的剩餘投幣次數期望值，\(k=0,1,2,3\)。很明顯地，\(a_3=0\)。找出\(a_0,a_1,a_2,a_3\)彼此間的關聯)。
[解答]
a_0 = 1 + a_1
a_1 = (2/3)(1 + a_2) + (1/3)(1 + a_1)
a_2 = (1/3)(1 + a_3) + (2/3)(1 + a_2)
a_0 = 11/2
