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111樟樹高中

三、
1.
在右列的三角形陣列中,在兩條邊上依序填入2、3、4、⋯⋯連續自然數,中間的數都是上一列相鄰兩數之和(類似巴斯卡三角形),所以第一列所有數字的總和為2,第二列所有數字的總和為6,以此類推,試求第2022列所有數字的總和除以1000的餘數為何?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)

在下列的三角形陣列中,對k=1,2,3,…,由上而下的第k列是由k個數所排成,其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1,而中間的數都是上一列相鄰兩數之和,則第100列的數之總和除以100的餘數為?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100高中數學能力競賽臺北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

2.
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中,若\(\displaystyle a_n=\frac{3}{\sqrt{n^4+4n^2}}+\frac{6}{\sqrt{n^4+16n^2}}+\frac{9}{\sqrt{n^4+36n^2}}+\ldots+\frac{3n}{\sqrt{5n^4}}\),則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)?
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

3.
袋中有2022顆球,分別編號為1、2、3、⋯⋯、2022,假設每球被取中的機率相同,今從袋中一次取三顆球,設三顆球之中編號最大者為\(x\),求\(x\)的期望值為何?

袋中有 \(2008\) 顆球,分別編號為 \(1,2,3,…,2008\),設每球被取中的機率相同,今從袋中隨機取出三顆球,設三顆球之中編號最大者為 \(T\),求 \(T\) 之期望值。
連結有解答
(99屏東女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

4.
已知圓內接六邊形\(ABCDEF\)的六邊之長依序為5,5,7,7,5,7,則此六邊形\(ABCDEF\)的面積為何?

已知圓內接六邊形的邊長依序為2、2、3、3、2、3,則此六邊形面積為   
(102彰化高中科學班,https://math.pro/db/thread-2735-1-1.html)


四、
1.
若\(\left[\matrix{-\sqrt{3}&1\cr -1&-\sqrt{3}} \right]^{99}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\),則\(\displaystyle log_4 \frac{ad-bc}{a+b-c-d}=\)?

若\(\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{100}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\),則\(\displaystyle log_2 \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=\)   
2012TRML團體賽,https://math.pro/db/thread-1486-1-1.html
我的教甄準備之路 矩陣n次方,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

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