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110竹東高中

1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中,當\(1\le n\le 5\)時,\(a_n=n^2\),且對所有正整數\(n\),\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立,則\(a_{110}=\)?
[提示]
循環數列1,4,9,16,25,22,17,10

設實數數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}^{\infty}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}(n=1,2,\ldots)\),且\(a_{100}=1,a_{200}=2\),試求\(a_{300}\)。
(2002TRML團體賽)

3.
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\),且\(X\),\(Y\)均為二階方陣,滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\),\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\),若\(aX+bY=A\),其中\(a>b\),\(a,b\)為定值,試求
(1)數對\((a,b)=\)?
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)?

設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\;  \),且\(X\)、\(Y\)均為二階方陣,滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\;  \),\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \),\( aX+bY=A \),其中\( a>b \),\(a\)、\(b\)為常數,則\( X^n= \)?
(101台南二中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262)

4.
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\),則\(f(7)\)的最大值?

設\(f(x)=ax^2+bx+c\),(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\)),已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\),令\(f(4)\)的最大值為\(M\),最小值為\(m\),則\(2M+m=\)   
(100文華高中代理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635)

5.
設\(P\)為正\(\Delta ABC\)內部一點滿足\(\overline{AP}=2,\overline{BP}=3,\overline{CP}=\sqrt{7}\),求正\(\Delta ABC\)的邊長?

已知\(P\)為正\(\Delta ABC\)內一點,若\(\overline{PA}=\sqrt{7}\),\(\overline{PB}=\sqrt{3}\),\(\overline{PC}=2\),則\(\overline{AB}=\)?
(建中通訊解題第106期,連結有解答http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

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