公布試題了
　
我上一篇寫錯題目的就刪掉了
　
複試名單也出來了
9個人，門檻為33分

110.8.28版主補充
將官方版題目放到第一篇文章

計算二
也分享一個拙拙的做法，參考附圖：

擷取.PNG (43.48 KB)

2021-8-5 11:11

\(\overleftrightarrow{AB}\)為切線，則\(\overline{AG}\)為 角\(F_2AF_1\) 的角平分線。　設\(\overline{AF_2}=k,\,\overline{AF_1}=10-k\)，則\(\overline{GF_2}=\frac{3}{5}k,\,\overline{GF_1}=\frac{3}{5}(10-k)\)

由角平分線性質可得
\(\overline{AG}=\sqrt{\overline{AF_2}×\overline{AF_1}-\overline{GF_2}×\overline{GF_1}}=\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}\)

因為\(\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|\)，所以先推出\(\sin\theta\)。

由三角形\(AGF_2\)：
\(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{AG}^2+\overline{GF_2}^2-\overline{AF_2}^2}{2\overline{AG}· \overline{GF_2}}=\frac{\frac{16}{25}k(10-k)+\frac{9}{25}k^2-k^2}{2×\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}×\frac{3}{5}k}=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}\)

所以\(\displaystyle\sin\theta=±\sqrt{1-\frac{16(5-k)^2}{9k(10-k)}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}\)

\(\displaystyle\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|=\frac{3}{5}(5-k)\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}=\sqrt{\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}}\)

而\(\displaystyle\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}=\frac{400}{k(k-10)}+k(k-10)+25+16=41-\left(\frac{400}{k(10-k)}+k(10-k)\right)\leq41-2\sqrt{400}=1\)
　
所以最大值為1，此時\(\displaystyle\frac{400}{k(10-k)}=k(10-k)\)，解得\(k=5±\sqrt{5}\)或 \(k=5±3\sqrt{5}\)(後者不合，因為\(2\leq k\leq 8\))

將\(k=5-\sqrt{5}\)代入 \(cos\theta=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}=\frac{2}{3}\)

此時，由梯形ABOG可得　\(\displaystyle R=\overline{BO}=\overline{AG}+\overline{GO}×\cos\theta=\frac{4}{5}\sqrt{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}+\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{2}{3}=2\sqrt{5}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-5 11:19 編輯 ]

引用:

原帖由 anyway13 於 2021-7-31 22:57 發表
板上老師好

請問填充9,要怎麼做出p=11呢?

一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的

我也分享一個方法
說來慚愧，我對於手算開根號真的不熟練，所以只好想其他方法
　
從\(\sqrt{433},\sqrt{434}\)可以推得\(20<\frac{q}{p}<21\)，設\(q=20p+k,\,\,0<k<p\),  \(k\)為整數

平方後得到  \(\displaystyle 433<\frac{400p^2+40pk+k^2}{p^2}<434 \)　=>　\(\displaystyle 33<\frac{40k}{p}+\frac{k^2}{p^2}<34 \) ，其中\(0<\frac{k^2}{p^2}<1\)

所以可推得\(\displaystyle 32<\frac{40k}{p}<34 \)，即  \(\displaystyle 0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}<\frac{k}{p}<\frac{17}{20}=0.85 \)。

利用上面的不等式，去找出可能的\(\frac{k}{p}\)

從\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{k}{p}\)，先找分母比分子恰巧多1的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{6}{7}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差1的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)

從\(\displaystyle\frac{8}{10}<\frac{k}{p}\)，再找分母比分子恰巧多2的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{9}{11}<\frac{17}{20}\)，且\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{11}{13}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{13}{15}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差2的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)或\(\displaystyle\frac{11}{13}\)

先試試看吧，都不合再來找分子分母差3以上的。

接著用\(\displaystyle 33<\frac{40pk+k^2}{p^2}<34 \)找出真的可行的

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)，則\(\displaystyle\frac{1200+25}{36}=\frac{1225}{36}>34\)不合

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)，則\(\displaystyle\frac{3960+81}{121}=\frac{4041}{121}≈33.4\)，符合

故選擇\(p=11,\,k=9\)，即\(q=20*11+9=229\)，所求為\(\frac{229}{11}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-17 10:26 編輯 ]