7.
求無窮級數和\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)(k+3)}=\) 。
計算證明題
1.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(a_2=1\)，\(a_3=2\)，\(\displaystyle a_n=\frac{1}{a_{n-3}}(a_{n-2}\cdot a_{n-1}+3)\)，\(n\ge 4\)。試證：此數列每一項都是整數。
正數數列\(\{\;a_n \}\;\)有\(\displaystyle a_1=a_2=1,a_3=997,a_{n+3}=\frac{1993+a_{n+2}a_{n+1}}{a_n}\)，證明所有\(a_n\)均為整數。
(第三屆(1993年)澳門數學奧林匹克第三輪第4題)
[證明]
補充\(a_0=2\)，已知\(a_{n+3}a_n=1993+a_{n+2}a_{n+1}\)
用\(n+1\)換\(n\)並與上式相減化簡得\(\displaystyle \frac{a_{n+4}+a_{n+2}}{a_{n+2}+a_n}=\frac{a_{n+3}}{a_{n+1}}\)
對此式，令\(n=0,2,\ldots,2m-2\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+2}+a_{2m}}{a_2+a_0}=\frac{a_{2m+1}}{a_1}\)
即\(a_{2m+2}+a_{2m}=3a_{2m+1}\)
再令\(n=1,3,\ldots,2m-1\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+3}+a_{2m+1}}{a_3+a_1}=\frac{a_{2m+2}}{a_2}\)
即\(a_{2m+3}+a_{2m+1}=998a_{2m}\)，\(m\ge 0\)
對\(m\)用數學歸納法，不難證得\(a_{2m},a_{2m+1}\)均為整數，故結論成立。
