單選第 8 題
如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
先求過 P 的機率
經過 P 的捷徑有 10 條，分成以下三類
(1) A → Q → P，有 6 條，每條機率都是 1 / 2^5
(2) A → R → P (但不過 D)，有 3 條，每條機率都是 1 / 2^4
(3) A → D → R → P，有 1 條，機率是 1 / 2^3
所求 = 1 - (1 / 2^5 * 6 + 1 / 2^4 * 3 + 1 / 2^3) = 1/2

填充第 8 題
數字1~9隨機排成一列，接著將前面沒有更小數字的那些數字圈選出來，計算被圈選的數字總和。例如:123456789只圈選1，得到的和為1；548721936圈選5、4、2、1，得到的和為12；987654321得到的和為45等等。則這樣的和的期望值為　　　。
[解答]
題意是數字由左而右要愈取愈小
數字 1：不管怎麼排列，數字 1 一定會被取到，共有 9! 個 1，總和為 9!
數字 2：2 一定要排在 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 2 個 2，總和亦為 9!
數字 3：3 一定要排在 2 和 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 3 個 3，總和亦為 9!
:
:
數字 9：9 一定要排在最前面，才會被取到，共有 9! / 9 個 9，總和亦為 9!

所求 = 9! * 9 / 9! = 9

填充第 9 題
先估一下
若 x ＞ 700
[x] + [x/2] ＞ 1050，不合

原方程精簡成 [x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120] = 1001
利用 x ≧ [x]
x + x/2 + x/6 + x/24 + x/120 ≧ 1001
206x ≧ 1001 * 120
x ≧ 583.1...

當 x = 584
[x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120]
= 584 + 292 + 97 + 24 + 4
= 1001

每條捷徑的機率不盡相同

沒錯啦