如附件
單選2:
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156 (B)258 (C)342 (D)514
[解答]
a_10=(2/3)*(-1)^10+(1/3)*2^10=1026/3=342
請參考:108清水高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278
填充9:
已知\([x]\)為高斯符號，表示不超過\(x\)的最大整數。求方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\ldots+\left[\frac{x}{10!}\right]=1001\)的整數解\(x=\)
。
[解答]
大陸數學坊間教材題
x=4*5!+4*4!+1*3!+1*2!+0=584
證明1:
設\(a,b,c\)分別表\(\Delta ABC\)之\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊長，\(\angle B=60^{\circ}\)，證明：\(\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)=3\)。
[解答]
b² =a² +c² -2ac*cos60度=a² +c²-ac ,a² +c²=b²+ac----------(1)
(a+b+c)[1/(a+b)+ 1/(b+c)]= 2+ c/(a+b) +a/(b+c)
=2+ (bc+c² +a²+ab)/[(a+b)(b+c)] (將(1)代入)
=2+ (bc+b²+ac+ab)/[(a+b)(b+c)] =2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]
=2+1=3
證明2:
\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(z\)和\(w\)滿足\(zw-2iz-iw-5=0\)，\(|\;z|\;=2\)。證明：\(|\;w-i|\;=2\)。
[解答]
zw-2iz-iw-5=0, z(w-2i)= iw+5
|z|*|w-2i| =|i |*|w-5i| ,2|w-2i| =|w-5i| ---------(*)
在平面座標上,令w=(x,y) , 2i=(0,2) ,5i=(0,5)
(*)符合 2[x² +(y-2)² ]^0.5= [x² +(y-5)² ]^0.5
兩端平方,整理出x²+(y-1)²=4
故得證在複數平面上滿足|w-i| =2
證明3:
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
[解答]
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+C(n,3)*x^3+C(n,4)*x^4+..........................------------(*)
令x=i代入(*), 得(1+i)^n=C(n,0)+C(n,1)*i - C(n,2) -C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(1)
令x= -i代入(*),得(1-i)^n=C(n,0)-C(n,1)*i - C(n,2) +C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(2)
[(1)+(2)]/ 2 得 C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...........................=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2-------------------(3)
[(1)-(2)]/ 2 得 C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)-...........................=[(1+i)^n-(1-i)^n]/(2i)-------------------(4)
將(3)&(4)代入欲證明左式={ [ (1+i)^n+(1-i)^n ]/2 }²+{ [(1+i)^n-(1-i) ^n ]/(2i) }²
=(1+i)^n*(1-i)^n=[ 1-i² ] ^n= [1-(-1)]^n=2^n ,故得證
